Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет вписанные углы и прямоугольный треугольник. Так как AB — диаметр, ∠ACB = 90°. Вписанный угол ∠CAB, опирающийся на дугу CB, вдвое меньше центрального ∠COB, поэтому ∠CAB = 60°.

Тогда ∠ABC = 30°, и AC — катет напротив угла 30°: AC = AB · sin 30°.

AB = 30 / 0,5 = 60. Ответ: 60

Задание проверяет свойства биссектрисы и параллелограмма.

Из периметра 40 получаем AB + BC = 20, поэтому BC = 20 − 8 = 12.

Так как AD параллельна BC, углы AKB и DAK равны как накрест лежащие. Биссектриса даёт равенство углов BAK и DAK, значит углы BAK и AKB равны, а треугольник ABK равнобедренный: BK = AB = 8.

Тогда KC = BC − BK = 12 − 8 = 4.

Ответ: 4.

Задание проверяет применение теоремы Пифагора и свойства диагоналей ромба.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина AC равна 10, а половина второй диагонали равна √(101−10²)=1. В прямоугольном треугольнике с катетами 10 и 1 тангенс угла BAC равен 1/10=0,1.

Ответ: 0,1.

Проверяется связь площади прямоугольника с его сторонами и теорема Пифагора. Вторая сторона равна 60/5 = 12.

Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника: d = √(5² + 12²) = √169 = 13.

Ответ: 13.

Задание проверяет свойства углов прямоугольного треугольника и тригонометрические соотношения. Внешний угол при A равен 150°, значит внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°. Катет BC лежит напротив угла A, а AB — гипотенуза, поэтому sin 30° = BC/AB = 1/2. Отсюда AB = 48 · 2 = 96.

Ответ: 96.

Задание проверяет применение теоремы Пифагора и определение синуса в прямоугольном треугольнике. Гипотенуза AB = 10, а катет AC = √91. Поэтому BC² = 10² − (√91)² = 100 − 91 = 9, откуда BC = 3. Для угла A синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: sin A = BC / AB = 3/10 = 0,3.

Ответ: 0,3.

Проверяется формула площади ромба через сторону и угол: S = a² · sin α. Площадь квадрата равна 16, значит его сторона равна √16 = 4; такая же сторона у ромба. Тогда S = 4² · sin 30° = 16 · 0,5 = 8.

Ответ: 8.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и медианы к основанию. Внутренний угол при основании равен 180° − 150° = 30°.

Медиана к основанию также является высотой, поэтому треугольник ABM прямоугольный, а угол A равен 30°. Боковая сторона AB = BM/sin 30° = 63/(1/2) = 126.

Ответ: 126.

Задание проверяет углы прямоугольного треугольника и соотношение катета с гипотенузой. Внутренний угол A равен 180° − 120° = 60°, значит, второй острый угол равен 30°. Катет AC = 42 лежит напротив угла 30°, поэтому он равен половине гипотенузы AB. Следовательно, AB = 2 · 42 = 84. Ответ: 84.

Так как AC = BC, треугольник равнобедренный с основанием AB, поэтому углы A и B равны.

Внутренний угол B смежный с внешним углом 125°: угол B = 180° − 125° = 55°. Тогда угол A тоже равен 55°, а угол C = 180° − 55° − 55° = 70°.

Ответ: 70.

Задание проверяет теорему Пифагора и определение косинуса острого угла.

Против прямого угла C лежит гипотенуза AB.

По теореме Пифагора BC = √(AB² − AC²) = √(25² − 24²) = √49 = 7.

Косинус угла B равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: cos B = BC/AB = 7/25 = 0,28.

Ответ: 0,28.

Задание проверяет теорему о треугольнике, вписанном в окружность, и теорему Пифагора.

Так как AB — диаметр, угол ACB прямой. Тогда AB=√(7²+24²)=25, а радиус окружности равен половине диаметра: 25/2=12,5.

Ответ: 12,5.

Задание проверяет углы прямоугольного треугольника и определение синуса острого угла. Внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°. Так как AB = 29 — гипотенуза, BC — катет напротив угла A, поэтому BC = AB · sin 30° = 29 · 0,5 = 14,5.

Ответ: 14,5.

Проверяется теорема о вписанном угле и свойство треугольника, опирающегося на диаметр. Так как AB — диаметр, ∠ADB = 90°. В треугольнике ADB угол DAB равен 180° − 90° − 11° = 79°. Углы ∠DAB и ∠DCB опираются на одну хорду DB и лежат по разные стороны от неё, поэтому они равны.

Ответ: 79.

Задание проверяет косинус острого угла и теорему Пифагора. Так как угол C прямой, AB — гипотенуза. Из cos A = AC / AB = 12/13 следует, что AC = 26 · 12/13 = 24.

Тогда BC = √(26² − 24²) = 10.

Ответ: 10.

Проверяется свойство углов ромба: соседние углы в сумме дают 180°, а противоположные равны. Если сумма двух углов равна 120°, это равные противоположные углы, значит каждый равен 60°. Меньшая диагональ делит острый угол пополам; в получившемся прямоугольном треугольнике половина диагонали равна 7, а сторона ромба равна 7 / sin 30° = 14. Периметр равен 4 · 14 = 56.

Ответ: 56.

Задание проверяет свойство радиуса, проведённого в точку касания, и сумму углов четырёхугольника.

Радиусы OA и OB перпендикулярны сторонам угла, поэтому углы OAC и OBC равны 90°.

В четырёхугольнике CAOB сумма углов равна 360°, значит ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 115° = 65°.

Ответ: 65.

Проверяются связь внешнего и внутреннего углов и тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике. Внутренний угол A равен 180° − 120° = 60°, а значит, другой острый угол равен 30°. Катет AC = 31 лежит напротив угла B = 30°, поэтому гипотенуза AB = 2 · AC = 62.

Ответ: 62.

Задание проверяет среднюю линию трапеции и теорему Пифагора. Боковая сторона CD равна 5, а высота AB равна 3. Горизонтальная проекция стороны CD равна √(5² − 3²) = 4, поэтому большее основание AD равно 5 + 4 = 9.

Средняя линия равна полусумме оснований: (5 + 9) / 2 = 7.

Ответ: 7.

Проверяются определение тангенса и теорема Пифагора. Для угла A: tg A = BC/AC = 7/24; поскольку BC = 28, получаем AC = 28 · 24/7 = 96. Тогда AB = √(AC² + BC²) = √(96² + 28²) = √10000 = 100.

Ответ: 100.