Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина диагонали BD равна 12; вместе с половиной AC и стороной AB = 15 она образует прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора половина AC равна √(15² − 12²) = 9. Угол ABD лежит в треугольнике ABD, поэтому его синус равен отношению противолежащего катета AD = 9 к гипотенузе AB = 15. Ответ: 0,6.

Проверяется: формулы площади трапеции и треугольника.

Если высота трапеции равна h, то 69 = ((4 + 2)/2) · h, откуда h = 23.

Основание BC равно 2, поэтому площадь треугольника ABC равна (2 · 23)/2 = 23.

Ответ: 23.

Задание проверяет признаки прямоугольника и вычисление его площади.

Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC находим BC = √(26² − 10²) = √576 = 24.

Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон: S = 10 · 24 = 240 квадратных единиц.

Ответ: 240.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Площадь равна половине произведения диагоналей, поэтому вторая диагональ равна 2·96/12=16. Половины диагоналей, 6 и 8, образуют прямоугольный треугольник со стороной ромба в качестве гипотенузы. По теореме Пифагора сторона равна √(6²+8²)=10. Ответ: 10.

Задание проверяет свойства углов равнобедренного треугольника. Так как AC = BC, углы A и B равны. Внутренний угол B смежен с внешним, поэтому ∠B = 180° − 113° = 67°. Тогда ∠A = 67°, а ∠C = 180° − 67° − 67° = 46°.

Ответ: 46.

Задание проверяет признаки ромба и свойства углов параллелограмма.

Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому ∠A = ∠C = 120°/2 = 60°.

Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом, следовательно, AB = AD = 57.

В равнобедренном треугольнике ABD угол при вершине A равен 60°, поэтому два других угла также равны 60°.

Треугольник ABD равносторонний, значит, BD = AB = 57.

Ответ: 57.

Задание проверяет свойство внешнего угла и катета, лежащего напротив угла 30°.

Внутренний угол A смежный с внешним, поэтому ∠A = 180° − 150° = 30°.

Катет BC лежит напротив угла A и равен половине гипотенузы.

Следовательно, BC = 42 / 2 = 21 единица длины.

Ответ: 21.

Проверяются синус острого угла и теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике. Так как sin A = BC/AB = 8/17, то BC = 34 · 8/17 = 16. Тогда AC² = AB² − BC² = 34² − 16² = 900, поэтому AC = 30.

Ответ: 30.

Если диагональ параллелограмма является биссектрисой угла, соседние стороны равны; значит, это ромб. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половины диагоналей равны 16 и 12. Сторона ромба равна √(16² + 12²) = 20, а периметр равен 4·20 = 80.

Ответ: 80.

Проверяется нахождение сторон равнобедренного треугольника по площади и основанию. Высота к основанию равна 2 · 360 / 80 = 9, а половина основания — 40. По теореме Пифагора боковая сторона равна √(40² + 9²) = 41.

Ответ: 41.

Задание проверяет связь центрального угла с хордой и свойства прямоугольного треугольника. Так как AB — диаметр, угол AOB равен 180°, поэтому угол AOC = 180° − 120° = 60°. OA = OC как радиусы, значит, треугольник AOC равносторонний и OA = AC = 35. Диаметр AB = 2·35 = 70. Ответ: 70.

Задание проверяет теорему Пифагора и формулу площади прямоугольника. Диагональ образует со сторонами прямоугольный треугольник, поэтому вторая сторона равна √(29² − 21²) = √400 = 20 ед. Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон: S = 21 · 20 = 420 кв. ед. Ответ: 420.

Задание проверяет применение теоремы о вписанном угле, опирающемся на диаметр, и синуса в прямоугольном треугольнике. Диаметр AB равен 2 · 5 = 10, а ∠ACB = 90°. По теореме Пифагора BC = √(10² − 8²) = 6. Поэтому sin∠ABC = AC / AB = 8 / 10 = 0,8. Ответ: 0,8.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому AB = 117 / 15 = 7,8.

Угол CAD находится в прямоугольном треугольнике ACD, где тангенс равен отношению противолежащего катета CD к прилежащему AD.

Так как CD = AB = 7,8, а AD = BC = 15, получаем tg(CAD) = 7,8 / 15 = 0,52.

Ответ: 0,52.

Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то он является ромбом. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам, поэтому половины диагоналей равны 21 и 20. По теореме Пифагора сторона ромба равна √(21² + 20²) = 29. Периметр равен 4 · 29 = 116. Ответ: 116.

Проверяется свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр, и теорема Пифагора. Так как AB — диаметр, ∠ACB = 90°. Центральный угол COB равен 120°, поэтому меньший угол AOC равен 180° − 120° = 60°, а ∠CAB также равен 60°. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 15 лежит напротив угла 30°, значит гипотенуза AB вдвое больше: 30. Ответ: 30.

Проверяется формула площади трапеции: произведение полусуммы оснований на высоту.

Высота равна перпендикулярной составляющей боковой стороны: h = 5 sin 150° = 2,5.

Тогда S = (1 + 7)/2 · 2,5 = 10. Ответ: 10.