Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет синус угла в прямоугольном треугольнике и теорему Пифагора. Так как sin A = 12/13 и гипотенуза AB = 13, противолежащий катет BC равен 12. Второй катет AC = √(13² − 12²) = √25 = 5. Ответ: 5.

Проверяется связь внешнего угла треугольника с внутренним и применение синуса в прямоугольном треугольнике. Внутренний угол B = 180° − 120° = 60°, значит A = 30°. Сторона AB = 24 — гипотенуза, поэтому BC = AB · sin 30° = 24 · 0,5 = 12. Ответ: 12.

Задание проверяет тангенс угла и площадь треугольника. Высота BM делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника, а M — середина AC. По определению тангенса tg A = BM/AM = 0,5, значит AM = 4/0,5 = 8 и AC = 16. Площадь равна AC · BM/2 = 16 · 4/2 = 32.

Ответ: 32.

Задание проверяет косинус острого угла прямоугольного треугольника и формулу площади. cos B = BC/AB = 12/13, поэтому BC = 26 · 12/13 = 24.

По теореме Пифагора AC = √(26² − 24²) = 10. Тогда площадь равна AC · BC/2 = 10 · 24/2 = 120.

Ответ: 120.

Задание проверяет тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Внешний угол при A равен 120°, значит внутренний угол A равен 180° − 120° = 60°. Так как AC = 29 — катет, прилежащий к углу A, а AB — гипотенуза, cos 60° = AC/AB = 1/2. Поэтому AB = 29 ÷ (1/2) = 58.

Ответ: 58.

Задание проверяет свойства диагоналей параллелограмма и формулу площади. Диагонали равны, поэтому параллелограмм является прямоугольником: у прямоугольника равные диагонали, а значит, его углы прямые. Его площадь равна произведению сторон. При диагонали 50 и стороне AB = 14 в прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора другая сторона равна √(50² − 14²) = √2304 = 48. Тогда площадь равна 14 · 48 = 672.

Ответ: 672.

Задание проверяет нахождение высоты и площади трапеции. Острый угол между боковой стороной и прямой основания равен 180° − 150° = 30°, поэтому высота h = 12 · sin 30° = 6. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S = (7 + 15) · 6/2 = 66 квадратных единиц. Ответ: 66.

Задание проверяет внешний и внутренний углы треугольника и свойства прямоугольного треугольника. Внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°, а прямой угол — C, значит угол B равен 60°. Гипотенуза AB = 28, катет BC лежит напротив угла 30°, поэтому он равен половине гипотенузы: 28/2 = 14.

Ответ: 14.

Проверяется центральный угол правильного многоугольника и вписанный угол. В правильном девятиугольнике дуга от E до I, не содержащая A, состоит из четырёх сторон, поэтому её градусная мера равна 4 · 360° : 9 = 160°. Угол EAI опирается на эту дугу и равен половине её меры: 160° : 2 = 80°.

Ответ: 80.

Проверяется: углы правильного многоугольника и свойства вписанного угла.

Центральный угол правильного восьмиугольника равен 360°/8 = 45°. Угол CBH — вписанный; он опирается на дугу CH, не содержащую B, состоящую из пяти дуг по 45°.

Поэтому ∠CBH = (5 · 45°)/2 = 112,5°.

Ответ: 112,5.

Задание проверяет свойства окружности и прямоугольного треугольника. Так как AB — диаметр, угол ACB равен 90°. Угол AOB равен 180°, поэтому угол AOC равен 180° − 120° = 60°; треугольник AOC равносторонний, и AC = AO = 50. Тогда радиус равен 50, а диаметр — 100.

Ответ: 100.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и теорему Пифагора. Высота к основанию одновременно делит угол при вершине пополам, поэтому в прямоугольном треугольнике угол при B равен 60°. Гипотенуза AB = BK / cos 60° = 33 / 0,5 = 66. Ответ: 66.

Проверяется свойство углов на прямой и определение биссектрисы. Лучи MA и MB противоположны, поэтому ∠CMB = 180° − 76° = 104°. Биссектриса MD делит этот угол пополам: ∠DMB = 104° : 2 = 52°.

Ответ: 52.

Задание проверяет свойства вписанных углов.

Углы CBD и CAD опираются на одну дугу CD, поэтому ∠CBD = ∠CAD = 74°.

Диагональ BD делит угол ABC на углы ABD и DBC, значит, ∠ABD = 120° − 74° = 46°.

Ответ: 46.

Проверяется свойство радиуса, проведённого к точке касания: он перпендикулярен касательной. Треугольники OAC и OBC прямоугольные, имеют общую гипотенузу OC и равные катеты OA и OB — это радиусы окружности. Поэтому OC делит угол C пополам: угол ACO равен 71° / 2 = 35,5°. В треугольнике AOC угол OAC равен 90°, значит угол AOC равен 180° − 90° − 35,5° = 54,5°. Тогда угол AOB равен 2 · 54,5° = 109°.

Ответ: 109.

Задание проверяет вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Угол DBA опирается на дугу DA, поэтому дуга DA равна 2 · 71° = 142°. Так как AB — диаметр, дуга ADB равна 180°, откуда дуга DB равна 180° − 142° = 38°. Угол DCB опирается на дугу DB, значит он равен 38° / 2 = 19°.

Ответ: 19.

Задание проверяет площадь трапеции. Высота равна проекции боковой стороны на перпендикуляр к основанию: h = 1 · sin 150° = 0,5. Площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту: (2 + 14) / 2 · 0,5 = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 13. Внешний угол при C равен 120°, поэтому внутренний угол C равен 60°. По теореме косинусов AB² = AC² + BC² − 2 · AC · BC · cos 60°. Подставляем: AB² = (4√13)² + (√13)² − 2 · 4√13 · √13 · 1/2 = 208 + 13 − 52 = 169, значит AB = 13.

Задание проверяет свойства центрального угла и равнобедренного треугольника. Угол AOC равен 180° − 120° = 60°, поэтому треугольник AOC равносторонний: AC = AO = 26. Радиус равен 26, значит диаметр равен 2 · 26 = 52.

Ответ: 52.