Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
Катет прямоугольного треугольника равен 60, одна из средних линий равна 5,5. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Проверяется свойство средней линии треугольника и теорема Пифагора. Средняя линия равна половине стороны, которой параллельна, поэтому второй катет равен 2 · 5,5 = 11. Гипотенуза равна √(60² + 11²) = √3721 = 61. Ответ: 61.
В треугольнике известно, что биссектриса. Найдите длину отрезка
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и биссектрисы. Поскольку AB = BC, биссектриса BK делит основание AC пополам и является высотой. Она делит угол ABC пополам, поэтому ∠ABK = 60°. В прямоугольном треугольнике ABK: BK = AB · cos 60° = 18 · 1/2 = 9.
Ответ: 9.
В трапеции 
известно, что основания 
и 
, а её площадь равна 30. Найдите площадь треугольника 
.
Задание проверяет формулы площадей трапеции и треугольника. По данным на рисунках AD = 3, BC = 2, требуется площадь треугольника ABC. Обозначим высоту трапеции через h: (3 + 2) · h/2 = 30, откуда h = 12. Высота треугольника ABC к основанию BC равна высоте трапеции, поэтому его площадь равна 2 · 12/2 = 12 квадратных единиц. Ответ: 12.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
В параллелограмме диагонали перпендикулярны. Сумма углов и равна , . Найдите .
На окружности с центром и диаметром
отмечена точка так, что угол равен , . Найдите диаметр окружности.
Задание проверяет связь центрального и вписанного углов и свойство прямоугольного треугольника. Так как A, O и B лежат на диаметре, ∠AOB = 180°, поэтому ∠AOC = 180° − 120° = 60°. В равнобедренном треугольнике AOC радиусы OA и OC равны, значит, ∠OAC = 60° и треугольник равносторонний; тогда AC = AO = 37. Угол ABC опирается на дугу AC, поэтому он равен 30°, а AB — гипотенуза прямоугольного треугольника ABC напротив угла 30°: AB = 2 · AC = 74.
Ответ: 74.
Найдите площадь ромба, если его высота равна 7,
а острый угол равен .
Задание проверяет связь высоты ромба со стороной и углом, а также формулу площади. Для острого угла 30° высота равна стороне, умноженной на sin 30°: 7 = a · 1/2, откуда a = 14. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту: 14 · 7 = 98.
Ответ: 98.
В треугольнике угол равен . Медиана делит угол пополам и равна 24. Найдите длину стороны .
Задание проверяет свойства медианы и биссектрисы в треугольнике. Так как BM — медиана, AM = MC; а BM делит угол B пополам, поэтому ∠ABM = ∠MBC = 60°. Треугольники ABM и CBM равны по двум сторонам и углу между ними, значит ∠BMA = ∠BMC. Эти углы смежные, поэтому каждый равен 90°, и треугольник ABM прямоугольный с углом ABM = 60°.
Тогда ∠BAM = 30°, а сторона AB, лежащая напротив угла 90°, вдвое больше BM: AB = 2 · 24 = 48.
Ответ: 48.
Площадь прямоугольника равна 150, сторона . Найдите тангенс угла .
Задание проверяет формулу площади прямоугольника и определение тангенса острого угла.
Из формулы S = AB · AD находим AD = 150/9 = 50/3.
В прямоугольном треугольнике ADC противолежащий углу CAD катет CD = AB = 9, а прилежащий катет — AD.
Следовательно, tg ∠CAD = CD/AD = 9/(50/3) = 27/50 = 0,54.
Ответ: 0,54.
Стороны параллелограмма равны 36 и 72. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 54. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
Задание проверяет применение формулы площади параллелограмма S = a · h.
Используя меньшую сторону и проведённую к ней высоту, получаем S = 36 · 54 = 1944 кв. ед.
Для большей стороны та же площадь равна S = 72 · h, поэтому h = 1944/72 = 27 ед. длины.
Ответ: 27.
Основания трапеции равны 7 и 15, боковая сторона, равная 12, образует с одним из оснований трапеции угол Найдите площадь трапеции.
Проверяется нахождение площади трапеции через высоту. Высота равна перпендикулярной составляющей боковой стороны: h = 12 · sin 150° = 12 · 0,5 = 6. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = (7 + 15) · 6 / 2 = 66.
Ответ: 66.
Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 9:00?
Проверяется величина угла между стрелками часов. В 9:00 минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 9. Между соседними часовыми делениями 30°, поэтому угол между стрелками равен 3 · 30° = 90°.
Ответ: 90.
На окружности с центром и диаметром
отмечена точка так, что угол равен , . Найдите диаметр окружности.
Задание проверяет свойства центральных углов и радиусов окружности.
Поскольку AB — диаметр, лучи OA и OB противоположны, поэтому угол AOC равен 180° − 120° = 60°.
Радиусы OA и OC равны, значит, треугольник AOC равнобедренный, а два других его угла равны (180° − 60°)/2 = 60°.
Следовательно, треугольник AOC равносторонний, и радиус OA = AC = 34 ед. длины.
Диаметр AB = 2 · 34 = 68 ед. длины.
Ответ: 68.
В параллелограмме диагонали перпендикулярны. Сумма углов и равна , . Найдите .
Задание проверяет свойства параллелограмма и перпендикулярных диагоналей. Противоположные углы равны, поэтому ∠A = ∠C = 60°. Перпендикулярные диагонали параллелограмма означают, что его стороны равны, то есть ABCD — ромб. В треугольнике ABD стороны AD и AB равны, а угол A равен 60°, поэтому треугольник равносторонний и BD = AB = 12.
Ответ: 12.
Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен угол равен Найдите угол
Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства вписанных углов и четырёхугольника, вписанного в окружность. Углы ABD и ACD опираются на одну дугу AD, поэтому ∠ACD = 80°. В треугольнике ACD: ∠ADC = 180° − 80° − 34° = 66°. Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°, значит, ∠ABC = 180° − 66° = 114°. Ответ: 114.
В треугольнике стороны и равны. Внешний угол при вершине равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет сумму углов треугольника и свойства равнобедренного треугольника. Поскольку AC = BC, углы A и B равны.
Внутренний угол B смежен с внешним углом 146°, поэтому ∠B = 180° − 146° = 34°. Тогда ∠A = 34°, а ∠C = 180° − 34° − 34° = 112°.
Ответ: 112.
В треугольнике известно, что , . Найдите синус угла .
Задание проверяет теорему Пифагора и определение синуса. Проведём высоту из B к AC: в равнобедренном треугольнике она делит основание пополам, поэтому половина AC равна 14. Высота равна √(50² − 14²) = 48. Тогда sin(BAC) = 48 / 50 = 0,96.
Ответ: 0,96.
В равнобедренном треугольнике
с основанием медиана ,
отрезок , соединяющий середины боковых сторон, равен 40. Найдите боковую сторону .
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и средней линии.
Средняя линия MN равна половине основания AC, поэтому AC = 2 · 40 = 80. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой и делит основание пополам: AK = 40.
По теореме Пифагора AB = √(BK² + AK²) = √(9² + 40²) = 41.
Ответ: 41.
В равнобедренном треугольнике боковая сторона , . Найдите площадь треугольника .
Проверяется вычисление площади треугольника по двум сторонам и синусу угла между ними. В равнобедренном треугольнике AB = AC = 34, а площадь равна AB · AC · sin A / 2. Подставляем данные: 34 · 34 · (8/17) / 2 = 480. Ответ: 480.
На окружности с центром и диаметром
отмечена точка так, что угол равен , . Найдите диаметр окружности.
Проверяется нахождение диаметра окружности через прямоугольный треугольник. Поскольку AB — диаметр, угол ACB равен 90°, а угол ABC равен половине центрального угла AOC, то есть 30°.
В прямоугольном треугольнике ABC сторона AC лежит напротив угла 30°, поэтому она равна половине гипотенузы AB. Значит, AB = 2 · 8 = 16.
Ответ: 16.
Стороны параллелограмма равны 20 и 100. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 60. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
Задание проверяет связь площади параллелограмма с основанием и высотой. Площадь равна произведению стороны на высоту, проведённую к ней: S = 20 · 60 = 1200. Для большей стороны высота равна S/100 = 1200/100 = 12. Ответ: 12.
