Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

По рисунку равны стороны AB и BC, значит основание — AC, а высота BK делит угол B пополам. В прямоугольном треугольнике ABK угол ABK равен половине 120°, то есть 60°. Поэтому cos 60° = BK/AB, откуда AB = 60/0,5 = 120.

Ответ: 120.

Проверяется применение теоремы Пифагора к треугольнику, опирающемуся на диаметр окружности. Диаметр AB равен 2 · 3 = 6, а угол ACB прямой.

Тогда BC = √(AB² − AC²) = √(6² − (4√2)²) = √(36 − 32) = 2.

Ответ: 2.

Проверяется тангенс угла прямоугольного треугольника. Сторона AD равна 80 / 6 = 40/3. Для угла CAD противолежащий катет CD равен 6, а прилежащий катет AD равен 40/3. Поэтому tg(CAD) = 6 / (40/3) = 0,45. Ответ: 0,45.

Задание проверяет свойства прямоугольной трапеции и прямоугольного треугольника. Разность оснований равна 6 − 2 = 4 и является горизонтальным катетом треугольника у наклонной боковой стороны. Один острый угол этого треугольника равен 180° − 135° = 45°, поэтому его катеты равны. Высота трапеции равна 4, а меньшая боковая сторона — перпендикулярная основаниям — тоже равна 4.

Ответ: 4.

Нужно найти тангенс угла в прямоугольном треугольнике: tg α равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Площадь прямоугольника равна 270, а BC = AD = 30, поэтому AB = CD = 270 / 30 = 9.

В треугольнике ACD для угла CAD: tg(CAD) = CD / AD = 9 / 30 = 0,3.

Ответ: 0,3.

Задание проверяет теорему Пифагора и вычисление площади прямоугольника. Вторая сторона равна √(37² − 35²) = √144 = 12. Площадь равна произведению сторон: 35 · 12 = 420.

Ответ: 420.

Проверяется связь площадей прямоугольников, образованных двумя разрезами. Обозначим ширины левого и правого столбцов через a и b, а высоты верхней и нижней строк — через c и d.

По рисунку площади верхнего левого, верхнего правого и нижнего правого прямоугольников равны соответственно ac = 12, bc = 15 и bd = 30. Поэтому площадь четвёртого прямоугольника ad = (ac · bd) : (bc) = (12 · 30) : 15 = 24.

Ответ: 24.

Задание проверяет свойство радиуса, проведённого в точку касания, и угол между касательными. Радиусы OA и OB перпендикулярны сторонам угла, поэтому в четырёхугольнике CAOB углы при A и B равны 90°.

Сумма углов четырёхугольника равна 360°, значит ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 68° = 112°.

Ответ: 112.

Угол ADB опирается на диаметр AB, поэтому он прямой: 90°. В треугольнике ADB угол DAB равен 180° − 90° − 47° = 43°.

Углы DAB и DCB опираются на одну хорду DB и лежат по одну сторону от неё, значит, они равны.

Ответ: 43.

Проверяется связь площади прямоугольного треугольника с катетами и теорема Пифагора. Пусть второй катет равен x: 24 · x/2 = 84, откуда x = 7. Гипотенуза равна √(24² + 7²) = √625 = 25.

Ответ: 25.

Задание проверяет свойство вписанного угла и определение синуса в прямоугольном треугольнике.

Угол ACB опирается на диаметр, поэтому он равен 90°.

Гипотенуза AB равна двум радиусам: AB = 2 · 14 = 28 единиц длины.

Синус угла ABC равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: sin ∠ABC = AC/AB = 7/28 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Задание проверяет свойство вписанного угла. Полной окружности соответствует угол 360°, поэтому четверти окружности соответствует дуга с градусной мерой 360°/4 = 90°. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Значит, искомый угол равен 90°/2 = 45°. Ответ: 45.

Задание проверяет площадь прямоугольного треугольника и теорему Пифагора. Второй катет равен 2 · 336/14 = 48, поскольку площадь равна половине произведения катетов. Тогда гипотенуза равна √(14² + 48²) = √2500 = 50.

Ответ: 50.

Обозначим ширины левого и правого столбцов через a и b, а высоты верхней и нижней строк через c и d. Периметры прямоугольников по часовой стрелке равны 2(a+c)=10, 2(b+c)=14 и 2(b+d)=20. Тогда периметр четвёртого прямоугольника равен 2(a+d)=2(a+c)+2(b+d)-2(b+c). Получаем 10+20-14=16. Ответ: 16.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и теорему Пифагора.

Внутренний угол при основании равен 180°−150°=30°. Медиана к основанию равнобедренного треугольника также является высотой, поэтому получается прямоугольный треугольник с углом 30° и катетом BM=22. Боковая сторона, лежащая напротив угла 30°, вдвое больше катета BM, значит она равна 44.

Ответ: 44.

Задание проверяет связь между длиной дуги и центральным углом. Меньшая дуга соответствует углу 40°, значит длина всей окружности равна 50 · 360 / 40 = 450. Большая дуга составляет 320° окружности, поэтому её длина равна 450 · 320 / 360 = 400.

Ответ: 400.

Задание проверяет связь тангенса угла с катетами прямоугольного треугольника и теорему Пифагора. Медиана к основанию равнобедренного треугольника также является высотой и делит основание пополам.

Для половины треугольника tg A = 21/20 = 42/(AC/2), поэтому AC/2 = 40. Боковая сторона равна √(42² + 40²) = √3364 = 58.

Ответ: 58.

Задание проверяет формулу площади прямоугольного треугольника и определение тангенса.

Площадь равна половине произведения катетов: S = AC · BC / 2.

Отсюда AC = 2 · 25 / 5 = 10.

Для угла B противолежащий катет — AC, прилежащий — BC, поэтому tg B = AC / BC = 10 / 5 = 2.

Ответ: 2.