Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется: свойства вписанных углов и углов, опирающихся на одну хорду.

Так как AB — диаметр, вписанный угол ADB равен 90°. Тогда в треугольнике ADB угол DAB равен 180° − 90° − 36° = 54°.

Углы DAB и DCB опираются на хорду DB и лежат по разные стороны от неё, поэтому равны.

Ответ: 54.

Задание проверяет определение медианы и теорему Пифагора.

Медиана делит сторону AC пополам, поэтому AM = 70/2 = 35.

Так как BM перпендикулярна AC, треугольник ABM прямоугольный.

По теореме Пифагора AB = √(AM² + BM²) = √(35² + 12²) = √1369 = 37.

Ответ: 37.

Задание проверяет умение находить отношение площадей треугольников. У треугольников ABC и MBK общий угол B, поэтому по формуле площади S = (1/2)ab sin B отношение площадей равно произведению отношений сторон, образующих этот угол. Получаем S(MBK)/S(ABC) = (BM/BA) · (BK/BC) = (1/2) · (4/5) = 2/5. Следовательно, S(ABC)/S(MBK) = 5/2 = 2,5. Ответ: 2,5.

Задание проверяет вычисление углов на циферблате.

Полный оборот равен 360°, поэтому между соседними часовыми отметками 360°/12 = 30°.

В 17:00 минутная стрелка направлена на 12, а часовая — на 5.

Между ними пять делений: 5 · 30° = 150°, а другой угол равен 210°.

Ответ: 150.

Задание проверяет площадь треугольника и свойства равнобедренного треугольника. Высота к основанию AC делит его пополам: половина основания равна 20. По теореме Пифагора высота равна √(29² − 20²) = √441 = 21. Площадь равна 40 · 21 / 2 = 420.

Ответ: 420.

Задание проверяет связь длины дуги с центральным и вписанным углами. Дуга составляет 4/9 длины окружности, значит соответствующий центральный угол равен 360° · 4/9 = 160°. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, вдвое меньше: 160° / 2 = 80°.

Ответ: 80.

Задание проверяет связь периметров прямоугольников, полученных разрезами. Пусть ширины двух столбцов равны a и b, а высоты двух строк — c и d. Сумма периметров верхнего левого и нижнего правого прямоугольников равна 2(a+c)+2(b+d), а сумма периметров верхнего правого и нижнего левого — 2(b+c)+2(a+d); эти суммы равны. Поэтому периметр четвёртого прямоугольника равен 2 + 18 − 3 = 17.

Ответ: 17.

Задание проверяет свойства вписанного четырёхугольника и сумму углов треугольника. Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°, поэтому ∠ADC = 180° − 138° = 42°. В треугольнике ACD угол CAD равен 83°, значит ∠ACD = 180° − 83° − 42° = 55°. Углы ABD и ACD опираются на одну хорду AD, поэтому они равны. Ответ: 55.

Задание проверяет свойства внешнего угла и углы равнобедренного треугольника. Так как AC = BC, основание — AB, поэтому углы A и B равны. Внешний угол при B равен сумме внутренних углов, не смежных с ним: 92° = A + C. Подставляя A = B и используя A + B + C = 180°, получаем 92° = 180° − B, значит B = 88° и A = 88°. Тогда C = 180° − 88° − 88° = 4°. Ответ: 4°.

Проверяется сумма углов выпуклого четырёхугольника и свойства равнобедренных треугольников. Проведём диагональ AC: в треугольнике ABC стороны AB и BC равны, поэтому углы при A и C равны и каждый равен (180° − 44°) : 2 = 68°. В треугольнике ADC стороны AD и CD равны, а угол D равен 128°, значит углы при A и C равны (180° − 128°) : 2 = 26°. Угол четырёхугольника A равен 68° + 26° = 94°.

Ответ: 94°.

Проверяется свойство медианы в равнобедренном треугольнике и теорема Пифагора. Высота к основанию делит основание пополам, поэтому KC = 30 : 2 = 15. В прямоугольном треугольнике BKC: BC = √(15² + 8²) = 17. Так как P — середина BC, BP = PC = 8,5; из рисунка BK перпендикулярна KC, а вычислить KP можно по координатам: при K = (0, 0), B = (0, 8), C = (15, 0), точка P = (7,5; 4), значит KP = √(7,5² + 4²) = 8,5.

Ответ: 8,5.

Проверяется определение угла между стрелками часов. В 12:00 обе стрелки направлены на отметку 12, поэтому угол между ними равен 0°.

Ответ: 0.

Проверяется планиметрия: свойства равнобедренного треугольника и прямоугольного треугольника.

Внутренний угол при основании равен 180° − 150° = 30°. Медиана к основанию в равнобедренном треугольнике также является высотой и биссектрисой, поэтому боковая сторона равна 52 / sin 30° = 104.

Ответ: 104.

Задание проверяет свойства четырёхугольника с двумя парами равных соседних сторон и сумму углов треугольника.

Из AB = BC и AD = CD следует, что BD — серединный перпендикуляр к AC и делит углы B и D пополам. Поэтому в треугольнике ABD углы при B и D равны 42° / 2 = 21° и 48° / 2 = 24°.

Тогда ∠A = 180° − 21° − 24° = 135°.

Ответ: 135.

Задание проверяет определение тангенса и теорему Пифагора. Для угла A противолежащий катет — BC, а прилежащий — AC, поэтому tg A = BC/AC = 4/3. Значит, AC = 20 · 3/4 = 15 единиц длины. По теореме Пифагора AB = √(20² + 15²) = √625 = 25 единиц длины. Ответ: 25.

Задание проверяет связь длины дуги с градусной мерой центрального угла. Меньшая дуга соответствует 18°, поэтому большая дуга соответствует 360° − 18° = 342°. Длины дуг пропорциональны их угловым мерам: 10 · 342 / 18 = 190.

Ответ: 190.

Проверяется теорема о вписанном угле: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Так как BD — диаметр, угол BOD равен 180°. Поэтому ∠AOB = 180° − 114° = 66°. Угол ACB опирается на дугу AB, значит ∠ACB = 66° / 2 = 33°.

Ответ: 33.