Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр, и определение косинуса.

Диаметр AB = 2 · 15 = 30 ед. длины.

Угол ACB равен 90°, поскольку опирается на диаметр AB.

В прямоугольном треугольнике ABC косинус угла BAC равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: cos ∠BAC = AC/AB = 12/30 = 0,4.

Ответ: 0,4.

Задание проверяет теорему Пифагора и формулу площади треугольника. Гипотенуза равна √(12² + 16²) = 20. Приравняем площади: (12 · 16)/2 = (20 · h)/2, откуда h = 192/20 = 9,6. Ответ: 9,6.

Проверяет: теорему косинусов и связь внешнего угла с внутренним.

Внутренний угол C равен 180° − 120° = 60°. По теореме косинусов: AB² = (3√3)² + (6√3)² − 2·3√3·6√3·cos 60° = 27 + 108 − 54 = 81. Значит, AB = 9.

Ответ: 9.

Проверяется: смежные углы и свойство биссектрисы.

Поскольку A, M и B лежат на одной прямой, углы CMA и CMB в сумме дают 180°. Луч MD делит угол CMB пополам, значит ∠DMC = ∠DMB = 63°, а весь угол CMB равен 126°. Тогда ∠CMA = 180° − 126° = 54°.

Ответ: 54°.

Задание проверяет площадь параллелограмма и связь площади с основанием и высотой. Площадь равна произведению стороны 10 на высоту к ней: 10 · 18 = 180. Для большей стороны 30 высота равна 180 : 30 = 6. Ответ: 6.

Проверяется сумма углов треугольника и свойство биссектрисы: ∠BAL = ∠LAC.

В треугольнике ALC угол при L равен 138°, поэтому ∠LAC + ∠ACB = 180° − 138° = 42°.

Пусть ∠LAC = x. Тогда ∠BAC = 2x, а из суммы углов ABC имеем 2x + 131° + ∠ACB = 180°.

Так как x + ∠ACB = 42°, получаем x = 7°, значит ∠ACB = 35°.

Ответ: 35.

Задание проверяет тригонометрическое отношение в прямоугольном треугольнике и вычисление площади. cos B = BC : AB = 0,28, поэтому BC = 25 · 0,28 = 7. По теореме Пифагора AC = √(25² − 7²) = 24. Площадь равна половине произведения катетов: 7 · 24 : 2 = 84. Ответ: 84.

Проверяются площадь трапеции и тригонометрия прямоугольного треугольника. Высота равна 10 · sin 150° = 10 · 0,5 = 5. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = (5 + 13) : 2 · 5 = 45.

Ответ: 45.

Задание проверяет связь вписанного угла с дугой окружности. Дуга составляет 7/36 длины окружности, значит соответствующий центральный угол равен 360° · 7/36 = 70°. Вписанный угол вдвое меньше: 70° / 2 = 35°.

Ответ: 35

Задание проверяет соотношения сторон в прямоугольном треугольнике. По теореме Пифагора BC² = AB² − AC² = 25 − 24 = 1, значит, BC = 1. Для угла B косинус равен отношению прилежащего катета BC к гипотенузе AB: cos B = 1 : 5 = 0,2. Ответ: 0,2.

Проверяется площадь параллелограмма через диагонали и сторону. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому их половины равны 8,5. В треугольнике со сторонами 8, 8,5 и 8,5 высота к стороне 8 делит её пополам. Высота равна √(8,5² − 4²) = 7,5, площадь этого треугольника равна 8 · 7,5 / 2 = 30. Площадь параллелограмма в четыре раза больше: 4 · 30 = 120. Ответ: 120.

Задание проверяет знание полного угла и вычисление числа равных углов вокруг точки.

Спицы выходят из центра колеса, а сумма углов между соседними спицами равна 360°.

Число таких углов равно числу спиц, поэтому получаем 360° / 20° = 18.

Ответ: 18.

Внешние углы при A и C равны 150°, значит внутренние углы равны 30°. Тогда угол B равен 120°. Так как AB = BC, биссектриса BK в равнобедренном треугольнике также является высотой. В прямоугольном треугольнике ABK: BK = 20·sin 30° = 10.

Ответ: 10.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и смежных углов. Так как AC = BC, углы A и B равны. Внутренний угол B равен 180° − 162° = 18°, значит угол A тоже 18°. Тогда угол C = 180° − 18° − 18° = 144°.

Ответ: 144.

Задание проверяет применение тангенса в прямоугольном треугольнике и формулу площади прямоугольника. В треугольнике ACD угол D прямой; CD = AB = 15, а tg∠CAD = CD/AD = 0,5. Значит, AD = 15/0,5 = 30. Площадь прямоугольника равна AB · AD = 15 · 30 = 450.

Ответ: 450.

Задание проверяет измерение угла между стрелками часов. В 16:00 минутная стрелка направлена на 12, а часовая — на 4. Между соседними делениями циферблата 30°, поэтому угол равен 4 · 30° = 120°. Это и есть меньший угол между стрелками.

Ответ: 120.

Задание проверяет свойства медианы и высоты равнобедренного треугольника. Так как BM — медиана, M — середина AC, поэтому AM = MC = 1. Из BC = BM следует, что треугольник BMC равнобедренный; высота BH к основанию MC также является медианой, значит MH = 0,5. Тогда AH = AM + MH = 1 + 0,5 = 1,5.

Ответ: 1,5.

Проверяется: центральные и вписанные углы правильного многоугольника.

Центральный угол правильного десятиугольника равен 360° / 10 = 36°. Дуга AI, не содержащая D, проходит через J и охватывает две стороны, поэтому её градусная мера равна 72°.

Вписанный угол ADI равен половине этой дуги: 72° / 2 = 36°.

Ответ: 36.

Задание проверяет свойства углов, сторон и диагоналей ромба.

Соседние углы ромба в сумме дают 180°, поэтому сумму 240° образуют противоположные равные углы: каждый равен 120°.

Два остальных угла равны 60°, а сторона ромба равна 36/4 = 9 ед.

Меньшая диагональ лежит напротив угла 60° в треугольнике с двумя сторонами ромба.

Этот треугольник равнобедренный с углом при вершине 60°, значит, он равносторонний, и искомая диагональ равна 9 ед.

Ответ: 9.