Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется свойство равнобедренного треугольника и соотношения в прямоугольном треугольнике. Угол при основании равен 180° − 150° = 30°, поэтому угол при вершине B равен 180° − 2 · 30° = 120°.

Медиана к основанию в равнобедренном треугольнике является высотой, значит, треугольник ABM прямоугольный, а угол A равен 30°. В таком треугольнике катет BM равен половине гипотенузы AB, поэтому AB = 2 · 77 = 154.

Ответ: 154.

Задание проверяет применение тригонометрии в прямоугольном треугольнике.

Углы A и B в сумме дают 90°, поэтому sin B = cos A = 0,5.

В прямоугольном треугольнике BCH гипотенуза BC = 10, а CH — катет напротив угла B.

Следовательно, CH = BC · sin B = 10 · 0,5 = 5 ед. длины.

Ответ: 5.

Задание проверяет нахождение площади трапеции через её высоту. Высота равна перпендикулярной составляющей боковой стороны: h = 8 · sin 150° = 8 · 0,5 = 4.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S = (10 + 20) : 2 · 4 = 60.

Ответ: 60.

В равнобедренной трапеции разность оснований делится поровну между двумя прямоугольными треугольниками по краям: (88 − 32) / 2 = 28.

Высота трапеции равна √(53² − 28²) = √(2809 − 784) = 45.

Горизонтальная проекция диагонали равна 28 + 32 = 60.

По теореме Пифагора диагональ равна √(60² + 45²) = 75.

Ответ: 75.

Используем свойство вписанных углов и тот факт, что угол, опирающийся на диаметр AB, прямой. В треугольнике DAB: ∠ADB = 90°, поэтому ∠DAB = 180° − 90° − 60° = 30°. Углы DCB и DAB опираются на хорду DB и лежат по разные стороны от неё, поэтому они равны. Ответ: 30.

Задание проверяет связь внешнего и внутреннего углов и свойство прямоугольного треугольника.

Внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°, поскольку он смежный с данным внешним углом.

Катет BC лежит напротив угла 30° и равен половине гипотенузы AB.

Получаем BC = 23 / 2 = 11,5 единицы длины.

Ответ: 11,5.

Проверяется связь внешнего и внутреннего углов треугольника и отношение сторон в прямоугольном треугольнике.

Внутренний угол A равен 180° − 120° = 60°. По рисунку прямой угол находится при C, значит AB — гипотенуза, а AC = 26 — катет, прилежащий к углу A.

cos 60° = AC/AB = 1/2, поэтому AB = 26/(1/2) = 52. Ответ: 52.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника, определение тангенса и формулу площади.

Высота BM, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому AC = 2AM.

В прямоугольном треугольнике ABM имеем tg A = BM/AM, откуда AM = 7/1,75 = 4 ед. длины.

Тогда AC = 8 ед. длины, а площадь S = AC · BM/2 = 8 · 7/2 = 28 кв. ед.

Ответ: 28.

Задание проверяет свойства смежных углов и биссектрисы. Лучи MA и MB — противоположные, поэтому ∠CMB = 180° − 66° = 114°. Биссектриса MD делит этот угол пополам: ∠DMB = 114°/2 = 57°. Ответ: 57.

Углы CMA и CMB смежные, так как точки A, M и B лежат на одной прямой.

Поэтому ∠CMB = 180° − 122° = 58°.

Луч MD — биссектриса угла CMB, значит ∠DMB = 58° : 2 = 29°.

Ответ: 29.

Задание проверяет площадь ромба. Для ромба высота h и сторона a связаны формулой h = a · sin α.

При α = 30° синус равен 1/2, поэтому сторона равна 3/(1/2) = 6. Площадь равна произведению стороны на высоту: 6 · 3 = 18.

Ответ: 18.

Проверяется применение свойства внешнего угла треугольника и равенства углов при основании равнобедренного треугольника. Так как AC = BC, углы при основании равны: ∠A = ∠B. Внутренний угол при B равен 180° − 157° = 23°.

Значит, ∠A = 23°, а ∠C = 180° − 23° − 23° = 134°. Ответ: 134.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон треугольника, равен половине основания. Поэтому основание AC = 2 · 24 = 48.

Медиана BK к основанию равнобедренного треугольника является высотой и делит основание пополам: AK = 24. По теореме Пифагора AB² = AK² + BK² = 24² + 7² = 625, значит AB = 25.

Ответ: 25.

Задание проверяет свойства равнобедренной трапеции и сумму углов треугольника.

Диагональ BD делит угол ADC на два угла, поэтому ∠ADC = 67° + 28° = 95°.

Боковые стороны AB и CD равны, значит, трапеция равнобедренная и углы при основании AD равны: ∠BAD = ∠ADC = 95°.

В треугольнике ABD получаем ∠ABD = 180° − 95° − 67° = 18°.

Ответ: 18.

Задание проверяет свойства углов и диагоналей ромба. Сумма двух углов 240° означает, что это противоположные углы по 120°; соседние углы тогда равны 60°.

Меньшая диагональ лежит напротив угла 60°. Вместе с двумя сторонами ромба она образует равносторонний треугольник, значит, сторона ромба равна 24. Периметр равен 4 · 24 = 96.

Ответ: 96.

Проверяется площадь равнобедренного треугольника и тангенс острого угла. Высота из вершины B делит основание пополам: AC/2 = 14. Тогда tg A = h/14 = 10/7, откуда h = 20. Площадь равна AC · h/2 = 28 · 20/2 = 280.

Ответ: 280.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и медианы. Медиана к основанию делит основание пополам: AM = 104 : 2 = 52. В прямоугольном треугольнике ABM по теореме Пифагора BM² = 65² − 52² = 1521, поэтому BM = 39.

Ответ: 39.