Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
В трапеции известно, что а её площадь равна 45. Найдите площадь треугольника
Задание проверяет формулы площадей трапеции и треугольника.
Основания AD и BC параллельны, поэтому высота треугольника ABC к стороне BC равна высоте трапеции h.
Из формулы S = (AD + BC) · h/2 получаем h = 2 · 45/(8 + 7) = 6 ед.
Площадь треугольника ABC равна BC · h/2 = 7 · 6/2 = 21 кв. ед.
Ответ: 21.
| В треугольнике угол равен , , . Найдите длину стороны . |
|
Проверяет: определение синуса острого угла прямоугольного треугольника.
Так как sin A = BC/AB = 0,8, то BC = 30·0,8 = 24. По теореме Пифагора AC = √(30² − 24²) = √324 = 18.
Ответ: 18.
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего
и далее по часовой стрелке, равны 20, 12 и 11. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.
Обозначим ширины левого и правого столбцов через a и b, а высоты верхнего и нижнего рядов через c и d. Тогда разность периметров верхних прямоугольников равна 2(b − a) = 12 − 20 = −8. Для нижних прямоугольников разность периметров справа и слева равна тому же числу: 11 − P = −8. Отсюда P = 19.
Ответ: 19.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
В равнобедренном треугольнике внешний угол при основании равен , а медиана , проведённая к основанию, равна 43. Найдите боковую сторону треугольника .
Задание проверяет углы и свойства медианы в равнобедренном треугольнике. Внешний угол при основании равен 150°, поэтому внутренний угол при основании равен 180° − 150° = 30°.
Медиана к основанию в равнобедренном треугольнике также является высотой, поэтому треугольник с гипотенузой — боковой стороной — имеет угол 30° и противолежащий катет BM = 43.
В прямоугольном треугольнике катет против угла 30° равен половине гипотенузы, значит боковая сторона равна 2 · 43 = 86.
Ответ: 86.
Основания равнобедренной трапеции равны 41 и 69, боковая сторона равна 50. Найдите длину диагонали трапеции.
В равнобедренной трапеции разность оснований делится поровну между двумя прямоугольными треугольниками у боковых сторон. Горизонтальный отрезок каждого равен (69 − 41) / 2 = 14.
Высота трапеции равна √(50² − 14²) = 48. Горизонтальная проекция диагонали равна 41 + 14 = 55.
По теореме Пифагора диагональ равна √(55² + 48²) = 73.
Ответ: 73.
В равнобедренном треугольнике основание , . Найдите площадь треугольника .
Проверяются тригонометрия в прямоугольном треугольнике и формула площади. Высота равнобедренного треугольника к основанию делит основание 20 пополам, получаются отрезки по 10.
По определению тангенса tg A = высота / 10 = 9/4, поэтому высота равна 22,5. Площадь равна 20 · 22,5 / 2 = 225.
Ответ: 225.
В равнобедренном треугольнике
медиана боковая сторона Найдите длину отрезка если известно, что он соединяет середины боковых сторон.
Задание проверяет свойство медианы и средней линии треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана BK к основанию AC является высотой, поэтому треугольник BKC прямоугольный.
Половина основания KC = √(BC² − BK²) = √(15² − 9²) = 12, значит AC = 24. Отрезок MN соединяет середины боковых сторон, поэтому он равен половине основания: MN = 24 / 2 = 12.
Ответ: 12.
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 72
и 54. Найдите периметр параллелограмма.
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами углов, они делят его углы пополам. Это возможно для ромба, у которого все стороны равны.
Диагонали ромба 72 и 54 пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половины диагоналей равны 36 и 27, поэтому сторона равна √(36² + 27²) = 45.
Периметр равен 4 · 45 = 180.
Ответ: 180.
| В треугольнике |
|
Задание проверяет теорему Пифагора и определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
Угол C равен 90°, поэтому AB — гипотенуза: AC² = AB² − BC² = 17 − 1 = 16, откуда AC = 4.
Тангенс угла A равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg A = BC/AC = 1/4 = 0,25.
Ответ: 0,25.
В прямоугольном треугольнике внешний угол при вершине равен . Гипотенуза . Найдите .
Задание проверяет свойства смежных углов и прямоугольного треугольника.
Внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°.
Катет BC лежит напротив угла 30°, поэтому равен половине гипотенузы: BC = AB/2 = 33/2 = 16,5.
Ответ: 16,5.
Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите наибольшую среднюю линию треугольника.
Задание проверяет теорему Пифагора и свойство средней линии треугольника. Гипотенуза равна √(16² + 30²) = √1156 = 34.
Наибольшая средняя линия соединяет середины катетов и параллельна гипотенузе, поэтому её длина равна половине гипотенузы: 34 / 2 = 17.
Ответ: 17.
В треугольнике медиана перпендикулярна стороне Найдите длину стороны если
Медиана делит сторону AC пополам, поэтому AM = 32 / 2 = 16. Так как BM перпендикулярна AC, треугольник ABM прямоугольный.
По теореме Пифагора AB² = 12² + 16² = 400, значит AB = 20.
Ответ: 20.
В равнобедренном треугольнике основание равно 60, площадь треугольника равна 480. Найдите длину боковой стороны .
Задание проверяет площадь треугольника и теорему Пифагора. Высота к основанию AC равна 2 · 480 / 60 = 16; в равнобедренном треугольнике она делит основание пополам, получаем отрезок 30. Боковая сторона AB равна √(30² + 16²) = √1156 = 34.
Ответ: 34.
В равнобедренном треугольнике медиана , проведённая к основанию, равна 9, а . Найдите длину боковой стороны треугольника .
Проверяется тригонометрия в прямоугольном треугольнике. Медиана к основанию равнобедренного треугольника является высотой, поэтому BM = 9 и угол между BM и основанием прямой.
Из tg A = 9/40 следует, что AM = 40. Тогда AB = √(AM² + BM²) = √(40² + 9²) = 41.
Ответ: 41.
Прямые и параллельны (см. рисунок). Найдите , если , . Ответ дайте в градусах.
По рисунку углы 1 и 2 вместе с углом 3 образуют треугольник, а соответствующие углы при параллельных прямых позволяют использовать данные 77° и 88°. Сумма углов треугольника равна 180°.
∠3 = 180° − 77° − 88° = 15°.
Ответ: 15.
В окружности с центром отрезки и диаметры. Центральный угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства вписанных углов и диаметра окружности. Так как AC и BD — диаметры, лучи OA и OC противоположны, а OB и OD тоже противоположны, поэтому ∠AOB = 180° − 88° = 92°.
Угол ACB — вписанный и опирается на дугу AB. Он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: ∠ACB = 92° / 2 = 46°.
Ответ: 46.
В равнобедренном треугольнике внешний угол при основании равен , а медиана , проведённая к основанию, равна 64. Найдите боковую сторону треугольника .
Проверяется: углы равнобедренного треугольника и свойства медианы к основанию.
Внутренний угол при основании равен 180° − 150° = 30°. Оба угла при основании равны, поэтому угол при вершине равен 120°. Медиана к основанию равнобедренного треугольника является высотой и биссектрисой, значит, рассматриваем прямоугольный треугольник с углами 30°, 60° и 90°. Боковая сторона, лежащая напротив угла 90°, вдвое больше катета напротив 30°: 2 · 64 = 128.
Ответ: 128.
В треугольнике угол равен , . Площадь треугольника равна 18. Найдите .
Проверяется: площадь прямоугольного треугольника и определение тангенса острого угла.
Пусть второй катет равен x. По формуле площади: 4x / 2 = 18, значит, x = 9. Для угла B противолежащий катет равен 9, а прилежащий катет равен 4, поэтому tg B = 9 / 4 = 2,25.
Ответ: 2,25.
В прямоугольнике одна из сторон равна 30, а диагональ равна 34. Найдите площадь этого прямоугольника.
Задание проверяет вычисление площади прямоугольника по его сторонам. По теореме Пифагора вторая сторона равна √(34² − 30²) = √256 = 16. Площадь равна 30 · 16 = 480.
Ответ: 480.
В треугольнике проведена биссектриса , угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства биссектрисы и сумму углов треугольника.
Точки B, L и C лежат на одной прямой, поэтому ∠ALB = 180° − 41° = 139°.
В треугольнике ABL угол BAL равен 180° − 139° − 26° = 15°.
Биссектриса AL делит угол A пополам, значит, ∠BAC = 2 · 15° = 30°.
Тогда ∠ACB = 180° − 30° − 26° = 124°.
Ответ: 124.
угол 
равен 
, 
, 
. Найдите 
.