Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется вычисление площади треугольника и применение теоремы Пифагора.

Высота к основанию AC равна 2S ÷ AC = 2 · 240 ÷ 48 = 10. В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его пополам, поэтому половина основания равна 24.

Боковая сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 10 и 24: AB = √(10² + 24²) = √676 = 26.

Ответ: 26.

Задание проверяет сумму углов треугольника и свойство биссектрисы. В треугольнике ALC угол при L равен 58°, а угол при C совпадает с ∠ACB.

Так как AL — биссектриса, ∠CAL = ∠LAB. Обозначим каждый из них через x, а ∠ACB через y. Из треугольника ABC: 2x + 54° + y = 180°, то есть 2x + y = 126°.

Из треугольника ALC: x + 58° + y = 180°, поэтому x + y = 122°. Вычитая, получаем x = 4°, а y = 118°. Ответ: 118.

Так как AB — диаметр окружности радиуса 6, AB = 12. По теореме о вписанном угле треугольник ABC прямоугольный, а AB — его гипотенуза. Поэтому sin∠ABC равен отношению противолежащего катета AC к гипотенузе: 9 ÷ 12 = 0,75.

Ответ: 0,75.

Задание проверяет свойства диагоналей ромба и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половина AC равна 5.

Пусть половина второй диагонали равна x. По теореме Пифагора: x² + 5² = (√26)², значит x² = 1 и x = 1. Тангенс угла BAC равен отношению противолежащего катета к прилежащему: 1/5 = 0,2.

Ответ: 0,2.

Проверяется тема «Планиметрия: треугольники, четырёхугольники, окружность, тригонометрия в прямоугольном треугольнике». Пусть второй катет равен x. По формуле площади прямоугольного треугольника: 30 · x / 2 = 240, откуда x = 16.

По теореме Пифагора гипотенуза равна √(30² + 16²) = √1156 = 34.

Ответ: 34.

Задание проверяет определение косинуса в прямоугольном треугольнике и формулу площади.

cos A = AC / AB = 0,6, значит sin A = 0,8. Высота CH к гипотенузе равна BC · cos A: CH = 15 · 0,6 = 9.

Ответ: 9.

Задание проверяет свойства высоты равнобедренного треугольника и медианы прямоугольного треугольника.

Высота BK является также медианой, поэтому KC = 48/2 = 24.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике BKC: BC = √(24² + 10²) = √676 = 26.

Отрезок KP — медиана к гипотенузе BC, поэтому KP = BC/2 = 26/2 = 13 единиц длины.

Ответ: 13.

Проверяются свойства вписанных углов и углов вписанного четырёхугольника. Углы BAD и BCD опираются на хорду BD, поэтому ∠BCD = 25°. В треугольнике ACD угол ADC = 180° − 41° − 25° = 114°. Противоположные углы вписанного четырёхугольника дополняют друг друга до 180°, значит ∠ABC = 180° − 114° = 66°.

Ответ: 66.

Проверяется определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике.

По теореме Пифагора BC = √(AB² − AC²) = √(14² − (7√3)²) = √(196 − 147) = 7.

Для угла B прилежащий катет — BC, а гипотенуза — AB, поэтому cos B = 7/14 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Проверяется тема «Планиметрия: треугольники, четырёхугольники, окружность, тригонометрия в прямоугольном треугольнике». Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина известной диагонали равна 20 / 2 = 10.

Половина второй диагонали равна √(26² − 10²) = 24, поэтому вторая диагональ равна 48. Площадь ромба равна произведению диагоналей, делённому на 2: 20 · 48 / 2 = 480.

Ответ: 480.

Задание проверяет свойства диагоналей ромба и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей, поэтому вторая диагональ равна 2 · 384 : 32 = 24.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Для угла BAC тангенс равен отношению половин диагоналей: 12 : 16 = 0,75.

Ответ: 0,75.

Задание проверяет площадь ромба и свойства прямоугольного треугольника.

Высота, сторона ромба и угол 30° образуют прямоугольный треугольник. Если сторона равна a, то высота равна a · sin 30° = a / 2, поэтому a = 18.

Площадь ромба равна произведению стороны на высоту: S = 18 · 9 = 162.

Ответ: 162.

Задание проверяет нахождение высоты и площади трапеции.

Острый угол между данной боковой стороной и прямой основания равен 180° − 150° = 30°.

Проведённая высота — катет прямоугольного треугольника напротив угла 30°, поэтому h = 5/2 = 2,5.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S = (6 + 18)/2 · 2,5 = 30.

Ответ: 30.

Проверяются свойства равнобедренной трапеции и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Разность оснований равна 7 − 2 = 5, поэтому горизонтальный отрезок у каждой боковой стороны равен 5 : 2 = 2,5. Тогда тангенс острого угла равен 5 : 2,5 = 2.

Ответ: 2.

Задание проверяет свойство радиуса, проведённого к точке касания, и сумму углов четырёхугольника. Радиусы OA и OB перпендикулярны сторонам прямого угла, поэтому углы OAC и OBC равны 90°. В четырёхугольнике AOCB сумма углов равна 360°; значит ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 90° = 90°.

Ответ: 90.

Задание проверяет свойства высоты, проведённой к основанию равнобедренного треугольника.

Такая высота делит угол при вершине пополам, поэтому ∠ABK = 120° / 2 = 60°.

В прямоугольном треугольнике ABK cos 60° = BK / AB = 1/2. Значит, AB = 46 / (1/2) = 92.

Ответ: 92.

Задание проверяет связь внешнего и внутреннего углов и свойства прямоугольного треугольника. Внутренний угол A равен 180° − 120° = 60°, а прямой угол находится при C. Тогда cos 60° = AC : AB = 1/2, откуда AB = 12 : 0,5 = 24.

Ответ: 24.

Задание проверяет связь длины дуги с градусной мерой соответствующего центрального угла. Длина дуги пропорциональна углу, поэтому длина всей окружности равна 2 · 360/80 = 9. Большая дуга соответствует углу 360° − 80° = 280°, поэтому её длина равна 9 · 280/360 = 7. Ответ: 7.