Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
Площадь прямоугольника равна 340, сторона . Найдите тангенс угла .
Проверяются формулы площади прямоугольника и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Из площади 340 и BC = 20 находим AB = 340/20 = 17; значит CD = 17 и AD = 20. В треугольнике ACD тангенс угла CAD равен CD/AD = 17/20 = 0,85. Ответ: 0,85.
Сумма двух углов ромба равна , а его периметр равен 40. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
Периметр ромба равен 40, поэтому сторона равна 40 : 4 = 10. Сумма двух углов ромба может быть равна 120° только если это два меньших угла по 60°; соседние углы в сумме дают 180°, а противоположные равны. Меньшая диагональ лежит напротив угла 60° и делит его пополам: она равна 2 · 10 · sin 30° = 10.
Ответ: 10.
В треугольнике внешние углы при вершинах и равны , . Найдите длину биссектрисы .
Проверяется тема «Планиметрия»: углы треугольника и длина биссектрисы. Внутренние углы при A и C равны 180° − 150° = 30°, значит, угол B = 120°. Биссектриса BK делит его на два угла по 60°.
В треугольнике ABK угол при A равен 30°, а при K — 90°. Поэтому BK = AB · sin 30° = 66 · 0,5 = 33.
Ответ: 33.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
Найдите площадь ромба, если его высота равна 15,
а острый угол равен .
Площадь ромба равна произведению стороны на высоту. Высота связана со стороной соотношением h = a · sin 30°.
Так как sin 30° = 1/2, сторона ромба равна a = 15 / (1/2) = 30.
Тогда площадь равна S = 30 · 15 = 450.
Ответ: 450.
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего
и далее по часовой стрелке, равны 17, 12 и 13. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.
Задание проверяет связь периметров прямоугольников, полученных двумя разрезами. Пусть ширины левого и правого столбцов равны a и b, а высоты верхней и нижней строк — c и d.
Суммы сторон трёх указанных прямоугольников дают a + c = 17 : 2, b + c = 12 : 2, b + d = 13 : 2. Для четвёртого прямоугольника сумма сторон равна a + d = (a + c) − (b + c) + (b + d) = 9. Его периметр равен 2 · 9 = 18.
Ответ: 18.
В равнобедренном треугольнике угол равен . Высота , проведённая к основанию, равна 22. Найдите боковую сторону .
Высота BK равнобедренного треугольника к основанию делит угол при вершине B пополам и основание пополам. Поэтому в прямоугольном треугольнике ABK угол ABK равен 60°.
Здесь BK = 22 — прилежащий катет, а AB — гипотенуза. cos 60° = BK / AB = 1/2, значит AB = 22 / (1/2) = 44.
Ответ: 44.
В треугольнике угол равен , сторона равна 9. Тангенс угла равен 0,75. Найдите длину стороны .
Проверяется тема «Планиметрия»: тангенс острого угла прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. По определению тангенса tan A = BC/AC = 0,75, поэтому AC = 9/0,75 = 12.
Тогда AB² = AC² + BC² = 12² + 9² = 225, откуда AB = 15.
Ответ: 15.
В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 48. Гипотенуза равна 50. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.
В прямоугольном треугольнике второй катет найдём по теореме Пифагора: √(50² − 48²) = √196 = 14. Наименьшая средняя линия соединяет середины двух сторон и параллельна наименьшей стороне, поэтому равна половине меньшего катета: 14 : 2 = 7.
Ответ: 7.
В треугольнике угол равен , , . Найдите площадь треугольника.
Задание проверяет тангенс угла и площадь прямоугольного треугольника. Так как ∠C = 90°, tg B = AC/BC = 8/15, значит AC = 30·8/15 = 16. Площадь равна половине произведения катетов: S = AC·BC/2 = 16·30/2 = 240. Ответ: 240.
В прямоугольнике сторона равна 13, . Найдите площадь прямоугольника.
Проверяется тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике и вычисление площади прямоугольника. В треугольнике ACD: tg ∠CAD = CD / AD = 0,2.
Противоположная сторона CD равна AB = 13, значит AD = 13 / 0,2 = 65. Площадь равна AB × AD = 13 × 65 = 845.
Ответ: 845.
Найдите площадь ромба, если его высота равна 30,
а острый угол равен .
Задание проверяет площадь ромба через сторону и высоту. Высота h связана со стороной a равенством h = a·sin 30°, поэтому a = 30/0,5 = 60. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту: S = 60·30 = 1800. Ответ: 1800.
В ромбе диагональ
сторона Найдите тангенс угла
Задание проверяет тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половина AC равна 15. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 3√34 второй катет равен √((3√34)² − 15²) = 3√34? Нет: квадрат гипотенузы равен 306, а 15² = 225, значит катет равен 9. Тогда тангенс угла BAC равен 9/15 = 0,6.
Ответ: 0,6.
| Одна из диагоналей ромба равна 18, а его площадь равна 216. Найдите сторону ромба. |
|
Проверяются формула площади ромба через диагонали и теорема Пифагора. Вторая диагональ равна 2 · 216 : 18 = 24. Половины диагоналей равны 9 и 12, а сторона ромба равна √(9² + 12²) = 15.
Ответ: 15.
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 3, 9 и 21. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.
Проверяется соотношение площадей прямоугольников, образованных двумя разрезами. Пусть ширины левого и правого столбцов равны a и b, а высоты верхней и нижней строк — c и d. Тогда площади угловых прямоугольников дают (ac)(bd) = (ad)(bc), поэтому площадь неизвестного прямоугольника равна 3 · 21 : 9 = 7.
Ответ: 7.
Колесо имеет 20 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
Полный угол вокруг центра колеса равен 360°.
Все 20 углов между соседними спицами равны, поэтому угол между соседними спицами равен 360° / 20 = 18°.
Ответ: 18.
В равнобедренном треугольнике угол равен . Высота , проведённая к основанию, равна 27. Найдите боковую сторону .
Задача проверяет свойства высоты в равнобедренном треугольнике и тригонометрию прямоугольного треугольника. Высота делит угол при вершине пополам, поэтому в треугольнике ABK угол B равен 60°, а угол K равен 90°.
Тогда BK/AB = sin 30° = 1/2, откуда AB = 27 · 2 = 54.
Ответ: 54.
| В треугольнике угол равен , Найдите |
|
Задача проверяет тангенс угла в прямоугольном треугольнике. По теореме Пифагора AC² = AB² − BC² = 109 − 9 = 100, значит, AC = 10.
Для угла A противолежащий катет — BC, прилежащий — AC, поэтому tg A = BC/AC = 3/10 = 0,3.
Ответ: 0,3.
Площадь прямоугольника равна 300, сторона . Найдите тангенс угла .
Задание проверяет площадь прямоугольника и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Из площади и стороны получаем AD = 300/12 = 25. В треугольнике ACD катеты — CD = AB = 12 и AD = 25, поэтому tg ∠CAD = CD/AD = 12/25 = 0,48. Ответ: 0,48.
В параллелограмме диагональ в два раза больше стороны и . Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
На окружности с центром и диаметром
отмечена точка так, что угол равен Найдите длину диаметра окружности.
Задание проверяет свойства диаметра окружности и равностороннего треугольника.
Лучи OA и OB противоположны, поэтому ∠AOC = 180° − 120° = 60°.
В треугольнике AOC радиусы OA и OC равны, значит, углы при основании равны и каждый составляет (180° − 60°)/2 = 60°.
Следовательно, треугольник AOC равносторонний и радиус OA = AC = 29 ед. длины.
Диаметр AB = 2 · 29 = 58 ед. длины.
Ответ: 58.
