Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и определение тангенса. Поскольку AB = BC, высота из B к основанию AC делит его пополам: половина AC равна 4. Для угла BAC tg ∠BAC = BC/4 = √5/2, откуда BC = 2√5. По теореме Пифагора AB² = BC² + 4² = 20 + 16 = 36, значит AB = 6.

Ответ: 6.

Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами углов, — ромб. Его диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Половина диагонали AC равна 15. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой 39 получаем половину диагонали BD: √(39² − 15²) = √(1521 − 225) = 36.

Значит, BD = 2 · 36 = 72.

Ответ: 72.

Задание проверяет свойства ромба. Сумма двух углов ромба равна 120°, поэтому это два равных острых угла по 60°: соседние углы в сумме дают 180°, а противоположные равны. Меньшая диагональ лежит напротив острого угла и равна стороне ромба, умноженной на √(2 − 2 · cos 60°) = 1, то есть сторона равна 25. Периметр равен 4 · 25 = 100.

Ответ: 100.

Задание проверяет свойства диагоналей ромба и синус острого угла прямоугольного треугольника.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половины диагоналей равны √55 и 3; они являются катетами прямоугольного треугольника, а его гипотенуза равна √(55 + 9) = 8.

Для угла BAC синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: sin(BAC) = 3 / 8 = 0,375.

Ответ: 0,375.

Задание проверяет свойства прямоугольного треугольника и косинус угла. Так как AB — диаметр, угол ACB прямой, а AB = 2 · 35 = 70.

В треугольнике ABC cos ∠BAC = AC : AB = 14 : 70 = 0,2.

Ответ: 0,2.

Проверяется свойство средней линии треугольника. Медиана BK делит основание AC пополам, поэтому MN, соединяющий середины боковых сторон, параллелен AC и равен половине AC. В прямоугольном треугольнике BKC: KC = √(BC² − BK²) = √(10² − 6²) = 8, значит AC = 16. Следовательно, MN = 16 : 2 = 8.

Ответ: 8.

Задание проверяет углы и тригонометрию в прямоугольном треугольнике. Внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°, а угол C равен 90°. Катет BC лежит напротив угла 30°, поэтому он равен половине гипотенузы AB. Значит, AB = 2 · 34 = 68.

Ответ: 68.

Задание проверяет свойства параллелограмма. Если его диагонали делят углы пополам, он является ромбом, поэтому все его стороны равны и AB = BC = 26. По теореме Пифагора в треугольнике ABC: AC² + BD² = 4 · 26², поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Тогда BD² = 2704 − 2304 = 400, откуда BD = 20. Ответ: 20.

Задание проверяет свойства углов при параллельных прямых и секущих. Угол 1 равен внутреннему углу треугольника при верхней вершине как вертикальный. Угол 2 — внутренний угол при нижней вершине, поэтому по сумме углов треугольника ∠3 = 180° − 88° − 16° = 76°.

Ответ: 76.

Задание проверяет применение синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике. Углы A и B в сумме дают 90°, поэтому cos B = sin A = 0,2. В прямоугольном треугольнике BCH гипотенуза — BC, следовательно, cos B = BH/BC. Отсюда BH = 20 · 0,2 = 4 единицы длины. Ответ: 4.

Проверяется вычисление площади прямоугольника по его сторонам. По теореме Пифагора вторая сторона равна √(50² − 48²) = √196 = 14. Площадь равна 48 · 14 = 672.

Ответ: 672.

Задание проверяет свойства параллелограмма, диагонали которого делят углы пополам. Такой параллелограмм является ромбом: его диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Значит, половины диагоналей равны 40 и 9, а стороны ромба — гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами 40 и 9. Сторона равна √(40² + 9²) = 41, поэтому периметр равен 4 · 41 = 164.

Ответ: 164.

Проверяется теорема Пифагора и связь сторон прямоугольника с его площадью. Вторая сторона равна 300 / 20 = 15.

Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 20 и 15: d² = 20² + 15² = 625, поэтому d = 25.

Ответ: 25.

Проверяется связь площади параллелограмма с основанием и высотой.

Площадь равна произведению меньшей стороны на высоту к ней: 10 · 36 = 360. Высота к большей стороне равна площади, делённой на эту сторону: 360 / 60 = 6.

Ответ: 6.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и тригонометрию прямоугольного треугольника. Так как AB = BC, биссектриса BK, проведённая к основанию AC, является высотой. Угол ABK равен 120° / 2 = 60°. В прямоугольном треугольнике ABK: BK = AB · cos 60° = 34 · 1/2 = 17.

Ответ: 17

Задание проверяет свойства прямоугольного треугольника и внешний угол. Внутренний угол B равен 180° − 120° = 60°, а угол C равен 90°, поэтому угол A равен 30°. Катет BC лежит напротив угла 30° и равен половине гипотенузы AB: BC = 10 / 2 = 5.

Ответ: 5.

Задание проверяет свойства четырёхугольников с равными соседними сторонами и сумму углов выпуклого четырёхугольника.

Из AB = BC и AD = CD следует, что точки B и D равноудалены от A и C. Значит, прямая BD — серединный перпендикуляр к AC, поэтому она делит углы B и D пополам.

Тогда ∠ABD = 100° / 2 = 50°, а ∠ADB = 120° / 2 = 60°. В треугольнике ABD угол A равен 180° − 50° − 60° = 70°.

Ответ: 70.

Задание проверяет тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике и высоту к гипотенузе. Так как sin A = BC / AB = 0,8 и BC = 15, получаем AB = 15 / 0,8 = 18,75. Тогда cos A = √(1 − 0,8²) = 0,6, а BH = BC·cos B здесь удобнее найти как проекцию катета BC на гипотенузу: BH = BC² / AB = 225 / 18,75 = 12. Ответ: 12.

Задание проверяет определение тангенса и формулу площади прямоугольника.

Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому AD = BC = 63.

В прямоугольном треугольнике ACD tg ∠CAD = CD/AD, откуда CD = 63 · 2/21 = 6.

Площадь прямоугольника S = AD · CD = 63 · 6 = 378 квадратных единиц.

Ответ: 378.