Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
В равнобедренном треугольнике основание , высота , проведённая к основанию, равна 9. Точка середина стороны . Найдите длину отрезка .
Задание проверяет свойства равнобедренного и прямоугольного треугольников. Высота к основанию равнобедренного треугольника является медианой, поэтому KC = 80/2 = 40. В прямоугольном треугольнике BKC гипотенуза BC = √(40² + 9²) = √1681 = 41. Отрезок KP — медиана к гипотенузе, поэтому он равен её половине: KP = 41/2 = 20,5. Ответ: 20,5.
В треугольнике угол равен , , . Найдите высоту .
Задание проверяет тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике. Так как cos A = AC/AB = 0,2, получаем AC = 0,2 · AB. Площадь можно выразить двумя способами: S = AC · BC/2 и S = AB · CH/2, поэтому CH = AC · BC/AB = 0,2 · 15 = 3. Ответ: 3.
В равнобедренном треугольнике основание , . Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника, определение тангенса и формулу площади.
Проведём высоту BH к основанию AC: она также является медианой, поэтому AH = 40/2 = 20.
В прямоугольном треугольнике ABH имеем tg A = BH/AH, значит BH = 20 · 9/8 = 22,5.
Площадь S = AC · BH/2 = 40 · 22,5/2 = 450 квадратных единиц.
Ответ: 450.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
В трапеции известно, что , и . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
| На окружности радиусом отмечена точка Отрезок диаметр окружности, Найдите длину хорды |
|
Проверяются свойства вписанного в окружность прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Так как AB — диаметр, угол ACB прямой; радиус равен √10, значит, AB = 2√10. Тогда BC² = AB² − AC² = 40 − 36 = 4, откуда BC = 2.
Ответ: 2.
В треугольнике угол равен , , . Найдите площадь треугольника.
Проверяются площадь прямоугольного треугольника и определение тангенса острого угла. По определению tg B = AC/BC, поэтому AC = 24 · 5/6 = 20. Площадь равна половине произведения катетов: S = AC · BC/2 = 20 · 24/2 = 240.
Ответ: 240.
| В треугольнике сторона , |
|
Медиана BM делит AC пополам, поэтому AM = MC = 3, а BM = BC = 3. Пусть AH = x, тогда HC = 6 − x и HM = |3 − x|. По теореме Пифагора в треугольниках BHC и BHM: BC² − BH² = HC², BM² − BH² = HM². Так как BC = BM, получаем HC = HM; с учётом положения точек на рисунке это даёт 6 − x = 3 − x? Такой вывод невозможен, поэтому проверим геометрию: при H правее M, HM = x − 3, а равенство HC = HM даёт 6 − x = x − 3, откуда x = 4,5. Ответ: 4,5.
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 7, 14 и 22. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.
Задание проверяет связь площадей прямоугольников, образованных двумя разрезами. Пусть ширины левого и правого столбцов равны a и b, а высоты верхней и нижней строк — c и d. Тогда площади верхнего левого и верхнего правого прямоугольников равны ac = 7 и bc = 14, значит b = 2a. Площадь нижнего правого равна bd = 22, поэтому площадь нижнего левого ad = 22 : 2 = 11. Ответ: 11.
