Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
В треугольнике известно, что Найдите длину медианы
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и медианы. Поскольку AB = BC, медиана BM к основанию AC является также высотой и делит AC пополам: AM = 20 : 2 = 10. По теореме Пифагора BM = √(26² − 10²) = √576 = 24. Ответ: 24.
В трапеции известно, что , и . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
В трапеции известно, что и Найдите величину угла . Ответ дайте в градусах.
На рисунке основания трапеции параллельны: AD ∥ BC, а равные стороны AB и CD — боковые стороны. Значит, трапеция равнобедренная, и углы при основании AD равны.
В треугольнике BCD угол BCD равен 180° − 35° − 66° = 79°. Тогда внутренний угол CDA равен 180° − 79° = 101°, поэтому ∠BAD = 101°. В треугольнике ABD получаем ∠ABD = 180° − 101° − 35° = 44°.
Ответ: 44°.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
В равнобедренном треугольнике угол равен . Высота , проведённая к основанию, равна 42. Найдите боковую сторону .
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и тригонометрию в прямоугольном треугольнике. Высота BK к основанию также делит угол B пополам, поэтому угол ABK равен 120° ÷ 2 = 60°. Тогда угол BAK равен 30°. В прямоугольном треугольнике ABK сторона BK = 42 лежит напротив угла 30°, значит гипотенуза AB = 2 · 42 = 84.
Ответ: 84.
Катет прямоугольного треугольника равен 15, одна из средних линий равна 4. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Задание проверяет свойство средней линии треугольника и теорему Пифагора.
Средняя линия равна половине параллельной ей стороны, значит, эта сторона равна 2 · 4 = 8 ед.
Сторона длиной 8 ед. не может быть гипотенузой, поскольку гипотенуза больше катета длиной 15 ед.; следовательно, это второй катет.
По теореме Пифагора гипотенуза равна √(15² + 8²) = √289 = 17 ед.
Ответ: 17.
В трапеции 
известно, что основания 
и 
, а её площадь равна 35. Найдите площадь треугольника 
.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S = (AD + BC) · h / 2.
Треугольник ABC имеет основание BC и ту же высоту h, что и трапеция. Поэтому его площадь равна BC · h / 2.
По рисунку AD = 8, BC = 2, а площадь трапеции равна 35. Тогда площадь треугольника составляет долю BC / (AD + BC) = 2 / 10 от площади трапеции.
SABC = 35 · 2 / 10 = 7.
Ответ: 7.
В треугольнике угол равен , , . Найдите площадь треугольника.
Задание проверяет определение тангенса и формулу площади прямоугольного треугольника.
Для угла B противолежащий катет — AC, прилежащий — BC, поэтому tg B = AC/BC.
Отсюда AC = 42 · 4/7 = 24 единицы длины.
Площадь равна половине произведения катетов: S = AC · BC/2 = 24 · 42/2 = 504 квадратные единицы.
Ответ: 504.
В треугольнике внешние углы при вершинах и равны , . Найдите длину биссектрисы .
Угол треугольника и прилежащий к нему внешний угол в сумме дают 180°, поэтому ∠A = ∠C = 30°. Тогда AB = BC, треугольник равнобедренный, и биссектриса BK к основанию AC является также высотой.
В прямоугольном треугольнике ABK угол ABK равен 60°. Поэтому BK = AB · cos 60° = 16 · 0,5 = 8.
Ответ: 8.
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 18 и 30. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.
Задание проверяет соотношение площадей прямоугольников, полученных разрезами. Если ширины левого и правого столбцов равны a и b, а высоты верхней и нижней строк — c и d, то площади равны ac = 12, bc = 18 и bd = 30. Поэтому площадь четвёртого прямоугольника ad = (ac·bd)/(bc) = 12·30/18 = 20. Ответ: 20.
В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 12. Гипотенуза равна 13. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.
Задание проверяет теорему Пифагора и свойство средней линии треугольника. Меньший катет равен √(13² − 12²) = √25 = 5. Наименьшая средняя линия соединяет середины сторон и равна половине меньшей стороны: 5/2 = 2,5. Ответ: 2,5.
| В треугольнике проведена биссектриса , угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. |
|
| Прямые и параллельны (см. рисунок). |
|
В ромбе диагональ , диагональ . Найдите синус угла .
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половины диагоналей равны √15 и 1, а сторона ромба по теореме Пифагора равна √(15 + 1) = 4.
Диагональ AC делит угол ромба при A пополам. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 4 и противолежащим катетом 1 синус угла BAC равен 1 / 4.
Ответ: 0,25.
В треугольнике стороны и равны. Внешний угол при вершине равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Проверяется связь между углами равнобедренного треугольника. Внешний угол при B равен 133°, поэтому внутренний угол B равен 180° − 133° = 47°.
Стороны AC и BC равны, значит, углы A и B равны. Тогда угол C равен 180° − 47° − 47° = 86°.
Ответ: 86.
Прямые и параллельны (см. рисунок). Найдите , если , . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства углов при параллельных прямых. Угол между верхней прямой и направленным вниз лучом более крутой секущей равен 180° − 133° = 47° как смежный с углом 1. Угол между верхней прямой и направленным вниз лучом другой секущей равен 43° как накрест лежащий с углом 2. Искомый угол равен разности: ∠3 = 47° − 43° = 4°.
Ответ: 4.
На окружности по разные стороны от диаметра отмечены точки и . Известно, что . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Проверяется свойство вписанных углов и угол, опирающийся на диаметр. Так как AB — диаметр, угол ADB прямой, то есть равен 90°.
В треугольнике ADB угол ADB равен 90°, а угол DBA равен 38°, поэтому угол DAB равен 180° − 90° − 38° = 52°. Углы DAB и DCB опираются на одну хорду DB, поэтому они равны.
Ответ: 52.
Площадь прямоугольника равна 400, сторона . Найдите тангенс угла .
Проверяется: площадь прямоугольника и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
Из площади получаем AB = 400 / 50 = 8. В треугольнике ACD катеты CD = AB = 8 и AD = BC = 50.
Поэтому tan∠CAD = CD / AD = 8 / 50 = 0,16.
Ответ: 0,16.
| В треугольнике угол равен , , . Найдите длину стороны . |
|
Задание проверяет синус острого угла в прямоугольном треугольнике. Здесь sin A = BC / AB = 0,6, поэтому BC = 15 · 0,6 = 9. По теореме Пифагора AC² = AB² − BC² = 225 − 81 = 144, значит AC = 12.
Ответ: 12.
Обе диагонали параллелограмма равны 25. Одна из сторон параллелограмма равна 24. Найдите другую сторону параллелограмма.
Проверяется свойство диагоналей параллелограмма: если они равны, это прямоугольник. В прямоугольнике диагональ 25 и сторона 24 образуют прямоугольный треугольник с другой стороной. По теореме Пифагора: x² = 25² − 24² = 625 − 576 = 49, значит x = 7. Ответ: 7.
В ромбе диагональ , площадь ромба равна 490. Найдите тангенс угла .
Задание проверяет свойства диагоналей ромба и тангенс угла прямоугольного треугольника. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей, поэтому вторая диагональ BD = 2 · 490 / 35 = 28. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, значит в треугольнике AOB катеты равны 17,5 и 14. Поэтому tan BAC = BO / AO = 14 / 17,5 = 0,8.
Ответ: 0,8.
