Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется свойство ромба: соседние углы supplementary, а диагонали делят его на прямоугольные треугольники.

На рисунке сумма двух углов ромба равна 120°. Соседние углы ромба в сумме дают 180°, поэтому эти два угла противоположные и каждый равен 60°. Периметр 48, значит, сторона ромба равна 48/4 = 12. Меньшая диагональ лежит напротив угла 60° в треугольнике с двумя сторонами по 12; по теореме косинусов её квадрат равен 12² + 12² − 2 · 12 · 12 · cos 60° = 144, поэтому диагональ равна 12.

Ответ: 12.

Задание проверяет свойства диагоналей ромба и синус острого угла прямоугольного треугольника. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половины диагоналей равны √51 и 7, а сторона ромба равна √(51 + 49) = 10. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой AB = 10 и противолежащим катетом 7 получаем sin ∠BAC = 7 / 10 = 0,7.

Ответ: 0,7.

Задание проверяет свойства смежных углов и биссектрисы. Так как MD — биссектриса угла CMB, угол DMB тоже равен 49°. Тогда ∠CMB = 49° + 49° = 98°. Углы CMA и CMB смежные, поэтому ∠CMA = 180° − 98° = 82°.

Ответ: 82.

Проверяется связь диагоналей ромба с его площадью и тангенсом угла. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей, поэтому вторая диагональ равна 2 · 315/30 = 21. Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы пополам; у прямоугольного треугольника с катетами 30/2 = 15 и 21/2 = 10,5 тангенс угла BAC равен 10,5/15 = 0,7. Ответ: 0,7.

Проверяется нахождение площади равнобедренного треугольника. Высота к основанию AC делит его пополам: каждая половина равна 15.

По теореме Пифагора высота равна √(25² − 15²) = 20. Площадь равна AC · 20 / 2 = 30 · 20 / 2 = 300.

Ответ: 300.

Задание проверяет связь между дугой окружности и вписанным углом. Дуга, равная 1/9 длины окружности, составляет 360°/9 = 40°. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине её градусной меры: 40°/2 = 20°. Ответ: 20.

Задание проверяет свойства медианы и высоты треугольника. Из BM = BC следует, что треугольник BMC равнобедренный; высота BH к основанию MC делит его пополам. Медиана BM делит AC пополам, поэтому AM = MC = 27 / 2 = 13,5, а MH = MC / 2 = 6,75. Следовательно, AH = AM + MH = 13,5 + 6,75 = 20,25.

Ответ: 20,25.

Проверяются свойства медианы равнобедренного треугольника и теорема Пифагора. Медиана BM к основанию AC делит основание пополам под прямым углом.

В прямоугольном треугольнике ABM: AM² = AB² − BM² = 10² − (√19)² = 81, значит AM = 9. Тогда в треугольнике ABM cos∠BAC = AM / AB = 9 / 10 = 0,9.

Ответ: 0,9.

Проверяется применение формулы площади прямоугольника и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Из S = AB · AD получаем AD = 125 / 5 = 25.

В прямоугольном треугольнике ACD для угла CAD противолежащий катет CD равен AB = 5, а прилежащий катет AD равен 25. Поэтому tg∠CAD = CD / AD = 5 / 25 = 0,2.

Ответ: 0,2.

Задание проверяет вычисление площадей по клетчатому рисунку. Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. По рисунку радиус внешнего круга в 2,5 раза больше радиуса внутреннего, поэтому площадь внешнего круга равна 8·2,5² = 50. Заштрихованная площадь равна 50 − 8 = 42. Ответ: 42.

Задание проверяет свойства диагоналей параллелограмма и равнобедренного треугольника. Пусть O — точка пересечения диагоналей: тогда AO = AC/2 = AB. Так как AB параллельна CD, угол BAO равен углу ACD, то есть 1°. Треугольник ABO равнобедренный, поэтому ∠AOB = (180° − 1°)/2 = 89,5°. Это меньший угол между диагоналями.

Ответ: 89,5.

Задание проверяет свойства диагоналей ромба и тангенс угла прямоугольного треугольника.

По формуле площади ромба 480 = 40 · BD/2, значит BD = 24. Диагонали делятся пополам и перпендикулярны, поэтому половины диагоналей равны 20 и 12.

Тангенс угла BAC равен отношению противолежащего катета к прилежащему: 12/20 = 0,6.

Ответ: 0,6.

Задание проверяет свойства диагоналей ромба и определение синуса. Обозначим точку пересечения диагоналей через O: диагонали перпендикулярны и делятся пополам, поэтому AO = 2√39, BO = 10. По теореме Пифагора AB = √((2√39)² + 10²) = √256 = 16. В прямоугольном треугольнике AOB получаем sin ∠BAC = BO/AB = 10/16 = 0,625.

Ответ: 0,625.

Используем равенство углов при основании равнобедренных треугольников. В треугольнике ABC углы при A и C равны, поэтому каждый равен (180° − 128°) / 2 = 26°; пусть угол ACD равен x. В треугольнике ACD равны стороны AD и CD, значит углы DAC и ACD равны x, а угол D равен 158°. Сумма углов четырёхугольника даёт (26° + x) + 128° + (26° + x) + 158° = 360°, откуда x = 11° и угол A равен 37°. Ответ: 37.

Проверяется связь внешнего и внутреннего углов и свойства равнобедренного треугольника. Внутренние углы A и C равны 30°, поэтому угол B равен 180° − 30° − 30° = 120°. Так как AB = 54, а углы A и C равны, противоположные им стороны BC и AB равны. Биссектриса из вершины B делит основание AC пополам и образует прямоугольный треугольник с углом 60° при B; из соотношений углов 30°–60°–90° получаем BK = 27.

Ответ: 27.

Задание проверяет теорему Пифагора и свойство средней линии треугольника. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна √(3² + 4²) = 5. Наибольшая средняя линия соединяет середины катетов, поэтому параллельна гипотенузе и равна половине её длины: 5 / 2 = 2,5.

Ответ: 2,5.

Задание проверяет свойства углов треугольника и биссектрисы. Внутренние углы при A и C равны 180° − 150° = 30°, поэтому угол B равен 120°.

Треугольник равнобедренный, а биссектриса BK делит его на два прямоугольных треугольника. В одном из них BK = AB · sin 30° = 12 · 1/2 = 6.

Ответ: 6.

Проверяются свойства углов и диагоналей ромба. Соседние углы ромба в сумме дают 180°, а противоположные равны; если сумма двух углов равна 120°, это противоположные углы по 60°. Периметр 76, значит сторона равна 76/4 = 19. Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов и вместе с двумя сторонами образует равносторонний треугольник, поэтому она равна 19. Ответ: 19.

Задание проверяет свойства параллелограмма и теорему Пифагора.

Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

Его диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника, а соседние стороны — катеты.

Искомая сторона равна √(13² − 5²) = √144 = 12.

Ответ: 12.

Проверяется свойство смежных углов и определение биссектрисы.

Точки A, M и B лежат на одной прямой, поэтому ∠CMB = 180° − ∠CMA = 180° − 124° = 56°. Луч MD — биссектриса угла CMB, значит, ∠DMB = 56°/2 = 28°.

Ответ: 28.