Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
| Основания трапеции равны 5 и 13, боковая сторона, равная 10, образует с одним из оснований трапеции угол . Найдите площадь трапеции. |
|
Проверяется вычисление площади трапеции по основаниям и высоте. Высота равна 10 · sin 150° = 5, поскольку sin 150° = 1/2. Площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту: (5 + 13) : 2 · 5 = 45.
Ответ: 45.
В треугольнике сторона
медиана, высота, Найдите длину отрезка
Задание проверяет свойства медианы и высоты равнобедренного треугольника.
Поскольку BM — медиана, AM = MC = 88/2 = 44.
Из равенства BC = BM следует, что треугольник BMC равнобедренный с основанием MC.
Его высота BH является также медианой, поэтому MH = MC/2 = 22.
Тогда AH = AM + MH = 44 + 22 = 66 единиц длины.
Ответ: 66.
В прямоугольном треугольнике угол равен , . Гипотенуза . Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет применение косинуса угла и теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике. Поскольку cos B = BC/AB = 21/29, получаем BC = 58 · 21/29 = 42.
Другой катет AC = √(58² − 42²) = 40. Площадь равна половине произведения катетов: 40 · 42/2 = 840.
Ответ: 840.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
правильный десятиугольник. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства правильного многоугольника и вписанного угла.
Вершины правильного десятиугольника лежат на окружности, а дуга между соседними вершинами равна 360° / 10 = 36°.
Дуга H–I–J состоит из двух таких дуг, поэтому её величина равна 72°.
Вписанный угол HEJ опирается на эту дугу и равен её половине: 72° / 2 = 36°.
Ответ: 36.
В прямоугольнике сторона равна 33, . Найдите площадь прямоугольника.
| В прямоугольном треугольнике ABC внешний угол |
|
Задание проверяет свойства прямоугольного треугольника и связь внешнего угла с внутренним. По рисунку прямой угол находится при C, а внешний угол при A равен 150°, значит внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°. Катет BC, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы AB, поэтому AB = 2 · 19 = 38.
Ответ: 38.
| Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, |
|
Проверяется связь высоты ромба, его стороны и площади.
Высота образует с боковой стороной прямоугольный треугольник, а острый угол ромба равен 30°. Поэтому 2 = a · sin 30° = a · 1/2, откуда сторона a = 4.
Площадь ромба равна произведению стороны на высоту: S = 4 · 2 = 8.
Ответ: 8.
На окружности с центром отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 28. Найдите длину большей дуги.
Задание проверяет пропорциональность длины дуги её градусной мере. Большая дуга соответствует углу 360° − 140° = 220°. Её длина равна 28 · 220/140 = 44. Ответ: 44.
В треугольнике угол равен . Медиана делит угол пополам и равна 40. Найдите длину стороны .
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и медианы к основанию. Так как медиана BM одновременно делит угол B пополам, треугольники ABM и CBM равны, поэтому AB = BC и AM = MC. В прямоугольном треугольнике ABM угол ABM равен 60°, а BM = 40, значит AB = BM / cos 60° = 40 / 0,5 = 80. Ответ: 80.
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 48
и 14. Найдите периметр параллелограмма.
Задание проверяет свойства ромба и применение теоремы Пифагора.
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм — ромб.
Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому их половины равны 24 и 7 ед.
Сторона ромба — гипотенуза прямоугольного треугольника: a = √(24² + 7²) = √625 = 25 ед.
Периметр P = 4a = 4 · 25 = 100 ед.
Ответ: 100.
В треугольнике сторона ,
медиана, высота, . Найдите длину отрезка .
В прямоугольнике одна из сторон равна 35, а диагональ равна 37. Найдите площадь этого прямоугольника.
Задание проверяет свойства прямоугольника и теорему Пифагора. Вторая сторона равна √(37² − 35²) = √144 = 12. Площадь равна произведению сторон: 35 · 12 = 420.
Ответ: 420.
В равнобедренном треугольнике боковая сторона , . Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет площадь треугольника по двум сторонам и синусу угла между ними. В равнобедренном треугольнике боковые стороны AB и BC равны 52, а углы A и C равны.
Тогда угол B равен 180° − 2A. Из sin A = 5/13 получаем cos A = 12/13, поэтому sin B = sin 2A = 2 · 5/13 · 12/13 = 120/169.
Площадь равна 52² · sin B / 2 = 960.
Ответ: 960.
На окружности с центром отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 19. Найдите длину большей дуги.
Задание проверяет связь длины дуги с соответствующим центральным углом.
Меньшей дуге соответствует угол 60°, а большей — 360° − 60° = 300°.
Длины дуг одной окружности пропорциональны их центральным углам.
Поэтому длина большей дуги равна 19 · 300/60 = 95 ед.
Ответ: 95.
В параллелограмме известно, что , . Найдите площадь параллелограмма.
Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником. Его сторона AB равна 9, а диагональ равна 41. По теореме Пифагора в прямоугольнике вторая сторона равна √(41² − 9²) = √1600 = 40. Площадь равна произведению сторон: 9 · 40 = 360. Ответ: 360.
Площадь прямоугольника равна 168, . Найдите синус угла .
В параллелограмме диагонали перпендикулярны. Сумма углов и равна , . Найдите .
В прямоугольном треугольнике внешний угол при вершине равен . Гипотенуза . Найдите .
Задание проверяет внешний и внутренний углы треугольника и соотношения сторон прямоугольного треугольника. Внутренний угол при A равен 180° − 150° = 30°.
Так как AB — гипотенуза длиной 39, а BC лежит напротив угла 30°, BC равен половине гипотенузы: BC = 39 : 2 = 19,5.
Ответ: 19,5.
Сторона ромба равна 5, одна из его диагоналей равна 8. Найдите площадь ромба.
Проверяет: диагонали ромба и теорему Пифагора.
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Половина известной диагонали равна 4, поэтому половина второй диагонали равна √(5² − 4²) = 3; вторая диагональ равна 6. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: 8·6/2 = 24.
Ответ: 24.
В прямоугольнике одна из сторон равна 99, а диагональ равна 101. Найдите площадь этого прямоугольника.
Задание проверяет теорему Пифагора и площадь прямоугольника. Вторая сторона равна √(101² − 99²) = √(2 · 200) = 20.
Тогда площадь равна 99 · 20 = 1980.
Ответ: 1980.
