Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
| В треугольнике известно, что Найдите длину медианы |
|
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и теорему Пифагора. Поскольку AB = BC, медиана BM к основанию AC является также высотой. Точка M — середина AC, поэтому AM = 24/2 = 12. В прямоугольном треугольнике ABM получаем BM = √(15² − 12²) = √81 = 9 единиц длины. Ответ: 9.
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна длины окружности. Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол составляет половину градусной меры дуги, на которую он опирается.
Дуга равна 1/6 длины окружности, значит, её градусная мера — 360° / 6 = 60°.
Тогда угол равен 60° / 2 = 30°.
Ответ: 30.
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 5, 15 и 33. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.
Проверяется связь площадей прямоугольников, образованных разрезами. При обозначениях ширин и высот четырёх частей их площади удовлетворяют равенству: произведение площадей противоположных частей одинаково.
Поэтому для неизвестной площади x: 5 · 33 = 15 · x, откуда x = 165 / 15 = 11.
Ответ: 11.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
правильный девятиугольник. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства правильного многоугольника. В девятиугольнике центральный угол между соседними вершинами равен 360° / 9 = 40°. Угол BAG опирается на дугу BG, не содержащую A; эта дуга охватывает пять сторон, поэтому её градусная мера равна 5 · 40° = 200°. Вписанный угол равен половине дуги: 200° / 2 = 100°.
Ответ: 100.
В прямоугольнике сторона равна 50, . Найдите площадь прямоугольника.
Задание проверяет тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике и площадь прямоугольника.
В треугольнике ACD: AD = BC = 50, а tg∠CAD = CD/AD = 9/20. Поэтому CD = 50 · 9/20 = 22,5.
Площадь прямоугольника равна AD · CD = 50 · 22,5 = 1125.
Ответ: 1125.
| В треугольнике известно, что , медиана равна 3. Площадь треугольника равна . Найдите длину стороны . |
|
Задание проверяет площадь треугольника и теорему Пифагора. Поскольку AB = BC, медиана BM к основанию AC является высотой и делит основание пополам. Из площади: AC · BM : 2 = 18√2, значит AC = 12√2 и AM = 6√2. Тогда AB² = BM² + AM² = 3² + (6√2)² = 81, поэтому AB = 9. Ответ: 9.
Площадь прямоугольного треугольника равна 540.
Один из катетов равен 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Задание проверяет формулу площади прямоугольного треугольника и теорему Пифагора. Площадь равна половине произведения катетов: S = ab/2. Второй катет равен b = 2 · 540/24 = 45. Гипотенуза равна c = √(24² + 45²) = √2601 = 51. Ответ: 51.
В трапеции основания , . Площадь трапеции равна 42. Найдите площадь треугольника .
Проверяется формула площади трапеции и площадь треугольника. Высота трапеции равна 2 · 42 : (6 + 1) = 12. У треугольника ABC основание BC равно 1, а высота к нему совпадает с высотой трапеции. Поэтому SABC = 1 · 12 : 2 = 6.
Ответ: 6.
| Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен а площадь квадрата равна 64. |
|
Задание проверяет формулы площадей квадрата и ромба.
Площадь квадрата равна a² = 64, где a — его сторона, равная стороне ромба.
Площадь ромба S = a² · sin α, где α — угол между его сторонами.
Поскольку sin 30° = 1/2, получаем S = 64 · 1/2 = 32 кв. ед.
Ответ: 32.
Сумма двух углов ромба равна а его меньшая диагональ равна 21. Найдите периметр ромба.
| В окружности с центром отрезки и диаметры. Центральный угол равен Найдите величину угла Ответ дайте в градусах. |
|
Угол ACB опирается на дугу AB. Центральный угол AOB опирается на ту же дугу, а поскольку AC и BD — диаметры, лучи OB и OD противоположны.
Поэтому ∠AOB = 180° − 112° = 68°. Вписанный угол равен половине соответствующего центрального: ∠ACB = 68°/2 = 34°.
Ответ: 34.
В прямоугольном треугольнике катеты равны 7 и 24. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.
Задание проверяет теорему Пифагора и формулу площади треугольника.
Гипотенуза равна c = √(7² + 24²) = √625 = 25 единиц длины.
Площадь можно выразить через катеты и через высоту h к гипотенузе: S = 7 · 24/2 = 25h/2.
Отсюда h = 7 · 24/25 = 6,72 единицы длины.
Ответ: 6,72.
В треугольнике известно, что , , внешний угол при вершине
равен . Найдите .
Задание проверяет теорему косинусов. Внешний угол при C равен 120°, поэтому внутренний угол ACB равен 60°. Тогда AB² = (3√19)² + (5√19)² − 2·3√19·5√19·cos 60° = 19(9 + 25 − 15) = 361. Следовательно, AB = 19. Ответ: 19.
В треугольнике угол равен , , . Найдите высоту .
Задание проверяет тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике. По рисунку CH — высота к гипотенузе AB, поэтому треугольник BCH прямоугольный, а ∠CBH = ∠A.
Тогда cos A = CH/BC, откуда CH = BC · cos A = 20 · 0,7 = 14.
Ответ: 14.
В угол с вершиной , равный , вписана окружность
с центром , которая касается сторон угла в точках и . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Проверяется свойство радиусов, проведённых в точки касания: они перпендикулярны касательным. Четырёхугольник CAOB имеет два прямых угла при A и B, поэтому ∠AOB + ∠C = 180°.
Значит, ∠AOB = 180° − 157° = 23°.
Ответ: 23.
В треугольнике внешние углы при вершинах и равны , . Найдите длину биссектрисы .
Задание проверяет свойства углов и биссектрисы равнобедренного треугольника.
Внутренние углы при A и C смежны с внешними, поэтому каждый равен 180° − 150° = 30°.
Равные углы лежат против равных сторон, значит, AB = BC, а биссектриса BK является высотой.
В прямоугольном треугольнике ABK катет BK лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы: BK = 50/2 = 25 единиц длины.
Ответ: 25.
В прямоугольном треугольнике внешний угол при вершине равен . Гипотенуза . Найдите .
Задание проверяет свойства углов прямоугольного треугольника и отношение сторон. Внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°, поэтому угол C равен 90° и угол B — 60°.
BC — катет, лежащий напротив угла 30°, а AB — гипотенуза. Такой катет равен половине гипотенузы: BC = 45 : 2 = 22,5.
Ответ: 22,5.
Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен угол равен Найдите угол Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства вписанного четырёхугольника и сумму углов треугольника. Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°, поэтому ∠ADC = 180° − 112° = 68°. В треугольнике ACD: ∠ACD = 180° − 70° − 68° = 42°. Углы ∠ABD и ∠ACD опираются на одну хорду AD, значит, они равны.
Ответ: 42.
В равнобедренном треугольнике медиана , проведённая к основанию, равна 3, а . Найдите длину боковой стороны треугольника .
Задание проверяет свойства медианы равнобедренного треугольника и тангенс угла. Медиана BM к основанию является высотой, поэтому треугольник ABM прямоугольный.
tg A = BM/AM = 3/4, значит, AM = 4. По теореме Пифагора AB = √(3² + 4²) = 5.
Ответ: 5.
| Стороны параллелограмма равны 10 и 35. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 21. Найдите длину высоты, проведённой к бо́льшей стороне параллелограмма. |
|
Задание проверяет площадь параллелограмма и связь площади с высотой. Площадь равна 10 · 21 = 210. Для высоты к стороне 35 получаем 210 / 35 = 6.
Ответ: 6.
