Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется вычисление площади прямоугольного треугольника с помощью тригонометрии. AB — гипотенуза, поэтому BC = AB · sin A = √13 · 3/√13 = 3. По теореме Пифагора AC = √(13 − 9) = 2. Тогда площадь равна AC · BC/2 = 2 · 3/2 = 3. Ответ: 3.

Проверяется теорема Фалеса: угол, опирающийся на диаметр, прямой. Так как AB — диаметр, ∠ADB = 90°. В треугольнике ADB тогда ∠DAB = 180° − 90° − 23° = 67°. Углы DAB и DCB опираются на одну хорду DB и равны.

Ответ: 67°.

Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон, поэтому AB = 65 ÷ 10 = 6,5. В прямоугольном треугольнике ACD тангенс угла CAD равен отношению противолежащего катета CD к прилежащему AD. Здесь CD = AB = 6,5, AD = BC = 10, значит tan(CAD) = 6,5 ÷ 10 = 0,65.

Ответ: 0,65.

Проверяется свойство медианы в равнобедренном треугольнике: медиана к основанию является также высотой.

Значит, треугольник BMC прямоугольный, а его площадь равна половине площади ABC: 4√5. При BM = 4 получаем MC = 2√5.

По теореме Пифагора BC² = BM² + MC² = 16 + 20 = 36, поэтому BC = AB = 6.

Ответ: 6.

Задание проверяет формулы площадей трапеции и треугольника. Для высоты h трапеции: ((9 + 6) · h)/2 = 75, откуда h = 10. Треугольник ABC имеет основание BC = 6 и ту же высоту, поэтому его площадь равна 6 · 10/2 = 30. Ответ: 30.

Проверяется свойство диагоналей ромба и связь стороны с периметром. Сумма двух углов 240° возможна для противоположных углов по 120°; соседние углы тогда равны 60°. Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов и равна стороне ромба: она образует с двумя сторонами равносторонний треугольник. Значит, сторона равна 9, а периметр равен 4 · 9 = 36.

Ответ: 36.

Задание проверяет свойства равнобедренной трапеции и сумму углов треугольника.

Угол ADC состоит из двух данных углов: ∠ADC = 45° + 23° = 68°.

Поскольку боковые стороны AB и CD равны, трапеция равнобедренная, поэтому углы при основании AD равны: ∠BAD = ∠ADC = 68°.

В треугольнике ABD получаем ∠ABD = 180° − 68° − 45° = 67°.

Ответ: 67.

Задание проверяет свойства вписанного четырёхугольника и сумму углов треугольника.

Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°, поэтому ∠ADC = 180° − 134° = 46°.

В треугольнике ACD третий угол равен ∠ACD = 180° − 81° − 46° = 53°. Углы ABD и ACD опираются на одну дугу AD, поэтому они равны.

Ответ: 53.

Проверяется тема «Планиметрия: треугольники, четырёхугольники, окружность, тригонометрия в прямоугольном треугольнике». Второй катет равен √(26² − 24²) = √100 = 10. Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна.

Наименьшая сторона равна 10, значит, наименьшая средняя линия равна 10 / 2 = 5.

Ответ: 5.

Проверяется: прямоугольный треугольник, вписанный в окружность.

Так как AB — диаметр, ∠ACB = 90°. Радиус равен √5, значит, AB = 2√5. По теореме Пифагора BC² = AB² − AC² = (2√5)² − 4² = 20 − 16 = 4, поэтому BC = 2.

Ответ: 2.

Пусть ширины левой и правой частей равны a и b, а высоты верхней и нижней частей — c и d. Периметры верхнего левого и верхнего правого прямоугольников равны 11 и 12, поэтому 2(a + c) = 11 и 2(b + c) = 12. Периметр нижнего правого равен 11, то есть 2(b + d) = 11; отсюда периметр нижнего левого равен 2(a + d) = 10.

Ответ: 10.

Проверяется сумма углов треугольника и теорема косинусов.

Внутренний угол C смежен с внешним, поэтому ∠C = 180° − 120° = 60°. По теореме косинусов для стороны AB: AB² = (4√3)² + (8√3)² − 2 · 4√3 · 8√3 · cos 60° = 48 + 192 − 96 = 144.

Следовательно, AB = √144 = 12.

Ответ: 12.

Задание проверяет свойства смежных углов и соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Внутренний угол A равен 180° − 120° = 60°, поэтому угол B равен 90° − 60° = 30°.

Катет AC лежит напротив угла 30° и равен половине гипотенузы: AB = 2 · AC = 2 · 24 = 48.

Ответ: 48.

Проверяется связь косинуса угла с отношением прилежащего катета к гипотенузе и теорема Пифагора. Так как ∠C = 90°, AB — гипотенуза длиной 50. Из cos A = AC/AB = 7/25 получаем AC = 50 · 7/25 = 14.

Тогда BC = √(AB² − AC²) = √(50² − 14²) = √2304 = 48.

Ответ: 48.

Проверяется площадь параллелограмма через его диагонали. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником, поэтому его диагонали делятся пополам, а сторона AB = 21 и половина диагонали AC равна 14,5.

Высота к стороне AB равна √(29² − 21²) = 20. Площадь равна 21 · 20 = 420.

Ответ: 420.

Задание проверяет связь центрального угла с хордой и свойства прямоугольного треугольника.

Так как AB — диаметр, угол ACB равен 90°. Углы AOC и COB в сумме дают 180°, значит, ∠AOC = 60°. В равнобедренном треугольнике AOC радиусы OA и OC равны, поэтому при угле 60° этот треугольник равносторонний и OA = AC = 56.

Диаметр равен двум радиусам: AB = 2 · 56 = 112.

Ответ: 112.

Высота BM делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника, поэтому AM = MC. В прямоугольном треугольнике ABM: tg A = BM / AM.

Отсюда AM = 9 / 1,8 = 5, основание AC = 10. Площадь равна AC · BM / 2 = 10 · 9 / 2 = 45.

Ответ: 45.

Проверяется тема «Планиметрия: треугольники, четырёхугольники, окружность, тригонометрия в прямоугольном треугольнике». Полный угол вокруг центра колеса равен 360°. Равные углы между 40 спицами составляют 360° / 40 = 9°.

Ответ: 9.