Стереометрия · 369 заданий ФИПИ с ответами
Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1 : 2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 10.
Отсечённый конус подобен данному с коэффициентом 1 : 3 (высота делится в отношении 1 : 2 от вершины). Объёмы относятся как куб коэффициента: 1 : 27. Объём конуса 10 · 27 = 270.
Ответ: 270.
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 10, боковое ребро равно 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Боковая грань — равнобедренный треугольник 13, 13, 10. Его высота (апофема) √(13² − 5²) = 12, площадь 10 · 12 : 2 = 60. Граней 6: 6 · 60 = 360.
Ответ: 360.
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 3 и 6, а второго — 4 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого конуса?
Площадь боковой поверхности конуса πrl. Первый: π · 3 · 6 = 18π, второй: π · 4 · 9 = 36π. 36π : 18π = 2.
Ответ: 2.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
В прямоугольном параллелепипеде рёбра , и диагональ боковой грани равны соответственно 5, 7 и . Найдите объём параллелепипеда .
Высота CC₁ = √(34 − 25) = 3. V = 5 · 7 · 3 = 105.
Ответ: 105.
| Объём конуса равен а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса. |
|
Объём конуса вычисляется по формуле V = πr²h / 3. Подставим V = 49π и h = 3: 49π = πr², значит r² = 49. Радиус положителен, поэтому r = 7. Ответ: 7.
| Даны два шара с радиусами 9 и 3. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего? |
|
Задание проверяет, как площадь поверхности шара зависит от радиуса.
Формула площади шара: S = 4πr². Отношение площадей равно (9/3)² = 3² = 9.
Ответ: 9.
Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
Задание проверяет, как площадь поверхности шара зависит от его радиуса.
По формуле S = 4πr² отношение площадей равно (4π·5²)/(4π·1²) = 25.
Ответ: 25.
| В прямоугольном параллелепипеде рёбра и диагональ боковой грани равны соответственно 4, 7 и Найдите объём параллелепипеда |
|
Проверяется нахождение объёма прямоугольного параллелепипеда. Диагональ боковой грани образует прямоугольный треугольник с рёбрами AB и высотой, поэтому высота равна √(41 − 4²) = 5. Тогда V = 4 · 7 · 5 = 140.
Ответ: 140.
Даны два шара с радиусами 4 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
Проверяется отношение площадей поверхностей шаров. Площадь поверхности шара равна 4πr², поэтому отношение площадей равно отношению квадратов радиусов: 4²/2² = 4.
Ответ: 4.
| Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка |
|
Задание проверяет, как меняется объём призмы при изменении высоты и размеров квадратного основания. Пусть ширина первой коробки равна a; тогда ширина второй равна 1,5a, а высота первой в 4,5 раза больше высоты второй. Отношение объёмов первой и второй равно 4,5 · a² : (1,5a)² = 2.
Ответ: 2.
| Объём конуса равен 135. Через точку, делящую высоту конуса в отношении считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. |
|
Проверяется объём конуса и подобие тел. От вершины до секущей плоскости проходит треть высоты, поэтому линейный масштаб малого конуса равен 1/3, а его объём составляет (1/3)³ = 1/27 объёма исходного. Следовательно, 135/27 = 5.
Ответ: 5.
Однородный шар диаметром 4 см весит 128 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 7 см, изготовленный из того же материала?
| Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно |
|
Проверяется объём пирамиды: V = (1/3)Sh. Площадь квадратного основания равна 6² = 36; расстояние от центра основания до его вершины равно половине диагонали квадрата, то есть 3√2. По теореме Пифагора высота пирамиды равна √((3√6)² − (3√2)²) = 6. Тогда V = (1/3)·36·6 = 72.
Ответ: 72.
В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 2, а боковое ребро перпендикулярно основанию и равно Найдите объём пирамиды
Проверяется объём пирамиды: V = (1/3)Sоснh. Высота равна SA = 5√3, поскольку SA перпендикулярно основанию. Площадь правильного треугольника со стороной 2 равна Sосн = 2²√3 / 4 = √3, поэтому V = (1/3) · √3 · 5√3 = 5.
Ответ: 5.
| Длина ребра куба АВСDА1В1С1D1 равна 12. На рёбрах АВ и BC отмечены соответственно точки K и P их середины. Найдите объём пирамиды В1ВKР. |
|
Задание проверяет объём пирамиды. Основание BКР — прямоугольный треугольник с катетами по 6, поэтому его площадь равна 6 · 6 : 2 = 18. Высота пирамиды равна ребру куба, то есть 12; объём равен 18 · 12 : 3 = 72.
Ответ: 72.
| Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка |
|
Задание проверяет зависимость объёма призмы от площади основания и высоты. Если сторона квадратного основания первой коробки равна a, то у второй она равна 1,5a, поэтому площадь основания увеличивается в (1,5)² = 2,25 раза. Высота второй коробки в четыре раза больше, значит, объём увеличивается в 2,25 · 4 = 9 раз.
Ответ: 9.
Даны два шара с радиусами 3 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
Задание проверяет зависимость площади поверхности шара от радиуса: S = 4πR².
Отношение площадей большего и меньшего шаров равно (4π · 3²) / (4π · 1²) = 9.
Ответ: 9.
Однородный шар диаметром 3 см весит 81 грамм. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?
Проверяется зависимость объёма шара от его диаметра при одинаковой плотности. Масса пропорциональна объёму, а объём шара пропорционален кубу диаметра. Поэтому масса второго шара равна 81 · (2/3)³ = 24 г.
Ответ: 24.
| Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 7 и 2, |
|
Задание проверяет нахождение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда. Третье ребро: 112 : (7 · 2) = 8. Тогда площадь поверхности равна 2 · (7 · 2 + 7 · 8 + 2 · 8) = 172.
Ответ: 172.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, |
|
Задание проверяет вычисление объёма прямой призмы через площадь основания.
Второй катет прямоугольного треугольника равен √(53 − 2²) = √49 = 7. Площадь основания равна 2 · 7 / 2 = 7, поэтому объём призмы равен 7 · 3 = 21.
Ответ: 21.
