Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет свойства ромба и диагоналей. В условии не отображается значение суммы двух углов; оно указано на изображении как 240°. Значит, каждый из двух равных тупых углов равен 120°, а острые углы равны 60°. Сторона ромба равна 20/4 = 5. Меньшая диагональ стягивает угол 60°; по теореме косинусов её квадрат равен 5² + 5² − 2 · 5 · 5 · cos 60° = 25, поэтому диагональ равна 5.

Ответ: 5.

Проверяется применение свойств равнобедренного треугольника и тригонометрии прямоугольного треугольника. Высота BK к основанию также делит угол B пополам, поэтому угол ABK равен 60°. В прямоугольном треугольнике ABK sin 60° = AK/AB, а удобнее использовать cos 60° = BK/AB = 1/2. Значит, AB = 56/(1/2) = 112.

Ответ: 112

Задание проверяет связь внешнего и внутреннего углов треугольника и применение теоремы синусов.

Внутренний угол C равен 180° − 150° = 30°, поэтому sin C = 1/2.

По теореме синусов AB/sin C = BC/sin A.

Следовательно, AB = 24 · (1/2)/(4/7) = 21 единица длины.

Ответ: 21.

Задание проверяет свойства углов и сторон прямоугольного треугольника.

Внутренний и внешний углы при вершине B в сумме составляют 180°, поэтому ∠B = 180° − 120° = 60°.

Тогда ∠A = 180° − 90° − 60° = 30°.

Катет BC лежит напротив угла 30° и равен половине гипотенузы: BC = AB/2 = 34/2 = 17 ед.

Ответ: 17.

Задание проверяет свойства прямоугольного треугольника и высоты, опущенной на гипотенузу.

В треугольнике ABC синус угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB: sin A = BC / AB. Поэтому AB = 5 / 0,6 = 25/3.

Треугольники ABC и BCH подобны: у них по прямому углу, а угол B общий. Из подобия следует BH / BC = BC / AB, значит BH = 25 / (25/3) = 3.

Ответ: 3.

Проверяется свойство углов при параллельных прямых и секущих. Угол, соответствующий углу 1, равен 22°. Он и угол 3 вместе с углом 2 образуют развернутый угол, поэтому ∠3 = 180° − 22° − 72° = 86°.

Ответ: 86.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Так как sin A = BC / AB, катет BC равен 4√5 · 1/√10 = 2√2. По теореме Пифагора AC = √((4√5)² − (2√2)²) = √72 = 6√2. Площадь равна (2√2 · 6√2) / 2 = 12. Ответ: 12.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и определение тангенса.

Медиана BM, проведённая к основанию, является высотой, поэтому треугольник ABM прямоугольный.

tg A = BM/AM = 5/12, откуда AM = 10 · 12/5 = 24.

По теореме Пифагора боковая сторона AB = √(10² + 24²) = √676 = 26 единиц длины.

Ответ: 26.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому половина каждой диагонали равна 8,5.

В треугольнике, образованном сторонами параллелограмма и половинами диагоналей, применяем теорему параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон.

17² + 17² = 2·(15² + x²), откуда x² = 64 и x = 8.

Ответ: 8.

Проверяется умение находить площадь прямоугольника с помощью тангенса угла в прямоугольном треугольнике.

В треугольнике CAD: tg∠CAD = CD/AD. Так как CD = AB = 9, получаем 0,12 = 9/AD, откуда AD = 75.

Площадь прямоугольника равна AB · AD = 9 · 75 = 675.

Ответ: 675.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и прямоугольного треугольника с углом 30°.

Внутренние углы при A и C равны 180° − 150° = 30°.

Следовательно, AB = BC, а биссектриса BK равнобедренного треугольника является также высотой.

В прямоугольном треугольнике ABK катет BK лежит напротив угла 30° и равен половине гипотенузы AB: BK = 18/2 = 9.

Ответ: 9.

Проверяется нахождение диагонали прямоугольника по его площади и стороне. Вторая сторона равна 120 / 8 = 15.

Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами 8 и 15. По теореме Пифагора она равна √(8² + 15²) = √289 = 17.

Ответ: 17.

Проверяется свойство углов ромба и его диагоналей.

Соседние углы ромба в сумме дают 180°, а противоположные равны, поэтому углы равны 60° и 120°. Меньшая диагональ образует с двумя сторонами равносторонний треугольник, значит сторона ромба равна 19. Периметр равен 4 · 19 = 76.

Ответ: 76.

Задание проверяет теорему Фалеса для угла, опирающегося на диаметр, и косинус в прямоугольном треугольнике. Диаметр AB равен 2 · 25 = 50, а ∠ACB = 90°. По теореме Пифагора BC = √(50² − 15²) = √2275 = 5√91. Для угла BAC cos∠BAC = AC : AB = 15 : 50 = 0,3.

Ответ: 0,3.

Задание проверяет свойства площадей треугольников и трапеции. По рисунку основания трапеции равны 3 и 1, а искомый треугольник имеет основанием меньшее основание трапеции и ту же высоту.

Площадь трапеции равна ((3 + 1)/2) × h = 12, откуда h = 6. Площадь треугольника равна (1 × 6)/2 = 3.

Ответ: 3.

Задание проверяет свойства равнобедренного и прямоугольного треугольников.

Высота BK делит основание пополам, поэтому KC = 60/2 = 30.

По теореме Пифагора BC = √(30² + 16²) = √1156 = 34.

Точка P — середина гипотенузы BC прямоугольного треугольника BKC, поэтому KP = BC/2 = 34/2 = 17 единиц длины.

Ответ: 17.

Задание проверяет свойства медианы и высоты равнобедренного треугольника.

Поскольку BM — медиана, AM = MC = 79/2 = 39,5.

В треугольнике BMC стороны BC и BM равны, поэтому высота BH к основанию MC является также медианой.

Следовательно, MH = MC/2 = 19,75, а AH = AM + MH = 39,5 + 19,75 = 59,25 единицы длины.

Ответ: 59,25.

Задание проверяет соотношения сторон в прямоугольном треугольнике. Внутренний угол A равен 180° − 120° = 60°, а прямой угол — C, поэтому угол B равен 30°.

Катет AC лежит напротив угла 30°, а в прямоугольном треугольнике он равен половине гипотенузы. Значит, AB = 2·55 = 110.

Ответ: 110.