Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
В равнобедренном треугольнике основание равно 16, площадь треугольника равна 48. Найдите длину боковой стороны .
Проверяется тема планиметрии: площадь равнобедренного треугольника и теорема Пифагора. Высота к основанию делит его пополам, поэтому половина основания равна 8. Из формулы площади 48 = 16 · h / 2 получаем h = 6. Боковая сторона равна √(8² + 6²) = √100 = 10.
Ответ: 10.
На окружности с центром отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 61. Найдите длину большей дуги.
Задание проверяет работу с длиной дуги: при одном радиусе отношение длин дуг равно отношению их центральных углов. Меньшей дуге соответствует угол 122°, большей — 360° − 122° = 238°. Поэтому длина большей дуги равна 61 · 238 / 122 = 119.
Ответ: 119.
Площадь прямоугольного треугольника 54. Один
из катетов 12. Найдите длину гипотенузы этого треугольника.
Проверяется тема планиметрии: площадь прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. По формуле площади второй катет равен 2 · 54 / 12 = 9. Тогда гипотенуза равна √(12² + 9²) = √225 = 15.
Ответ: 15.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 15. Гипотенуза равна 17. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.
В прямоугольном треугольнике второй катет найдём по теореме Пифагора: x² = 17² − 15² = 289 − 225 = 64, значит x = 8.
Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна.
Наименьшая средняя линия соответствует меньшему катету: 8 / 2 = 4.
Ответ: 4.
В равнобедренном треугольнике угол равен . Высота , проведённая к основанию, равна 21. Найдите боковую сторону .
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и тригонометрическое отношение в прямоугольном треугольнике.
В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит угол при вершине B пополам. В прямоугольном треугольнике ABK угол ABK равен 120°/2 = 60°, а BK = 21.
cos 60° = BK/AB = 1/2, поэтому AB = 21/(1/2) = 42.
Ответ: 42.
На окружности с центром и диаметром
отмечена точка так, что угол равен , . Найдите диаметр окружности.
Задание проверяет свойства диаметра и прямоугольного треугольника. Угол ACB опирается на диаметр AB, поэтому он прямой.
Так как A, O и B лежат на одной прямой, ∠ABC = ∠OBC. В равнобедренном треугольнике OCB углы при основании равны, поэтому ∠ABC = (180° − 120°) / 2 = 30°.
В прямоугольном треугольнике ABC сторона AC = 42 лежит напротив угла 30°, значит гипотенуза AB вдвое больше: AB = 84.
Ответ: 84.
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 14, 21 и 27. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.
Проверяется связь площадей четырёх прямоугольников, образованных двумя разрезами. Пусть ширины левого и правого столбцов равны a и b, а высоты верхней и нижней строк — c и d. Тогда площади равны ac = 14, bc = 21, bd = 27 и искомая площадь равна ad; поэтому ad = (ac · bd) / bc = 14 · 27 / 21 = 18. Ответ: 18.
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна длины окружности. Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет связь между длиной дуги и величиной вписанного угла. Дуга составляет 7/18 окружности, значит, соответствующий центральный угол равен 360° · 7/18 = 140°.
Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, вдвое меньше: 140° / 2 = 70°.
Ответ: 70.
В треугольнике медиана перпендикулярна . Найдите , если , .
Задание проверяет теорему Пифагора и свойство медианы: точка M делит AC пополам. Поэтому AM = AC / 2 = 80. Так как BM перпендикулярна AC, треугольник ABM прямоугольный, и AB² = AM² + BM² = 80² + 18² = 6724. Следовательно, AB = √6724 = 82.
Ответ: 82.
В равнобедренном треугольнике основание , . Найдите площадь треугольника .
Проверяется применение тангенса острого угла прямоугольного треугольника и формулы площади. Высота, опущенная из вершины B на основание AC, делит его пополам: каждая половина равна 12,5. По определению тангенса tg A = h / 12,5 = 8 / 5, откуда h = 20. Тогда площадь равна AC · h / 2 = 25 · 20 / 2 = 250.
Ответ: 250.
В треугольнике стороны и равны. Внешний угол при вершине равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Стороны AC и BC равны, поэтому углы при основании A и B равны.
Внутренний угол B равен 180° − 121° = 59°. Тогда угол A тоже 59°, а угол C равен 180° − 59° − 59° = 62°.
Ответ: 62.
| Стороны параллелограмма равны 9 и 12. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 8. Найдите длину высоты, проведённой к бо́льшей стороне. |
|
Задание проверяет площадь параллелограмма и формулу площади через сторону и высоту.
Площадь равна 9 · 8 = 72. Для большей стороны 12 высота h удовлетворяет равенству 12h = 72, поэтому h = 72/12 = 6.
Ответ: 6.
В треугольнике угол равен , высота, , . Найдите длину отрезка .
Задание проверяет соотношения сторон и углов в прямоугольном треугольнике. Острые углы A и B в сумме дают 90°, поэтому cos B = sin A = 0,3. В прямоугольном треугольнике BCH гипотенуза — BC, поэтому cos B = BH/BC. Следовательно, BH = 20 · 0,3 = 6 ед. Ответ: 6.
В трапеции известно, что , , а её площадь равна 96. Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет формулы площадей трапеции и треугольника. Основания трапеции AD и BC параллельны, поэтому высота треугольника ABC, проведённая к BC, равна высоте трапеции h. По формуле площади трапеции 96 = (7 + 1) · h/2, откуда h = 24 единицы длины. Тогда S треугольника ABC = BC · h/2 = 1 · 24/2 = 12 квадратных единиц. Ответ: 12.
На окружности радиусом 10 отмечена точка Отрезок диаметр окружности, Найдите
Так как AB — диаметр, угол ACB прямой. Радиус окружности равен 10, значит диаметр AB = 20. В прямоугольном треугольнике ABC синус угла ABC равен отношению противолежащего катета AC к гипотенузе AB: sin ∠ABC = 6/20 = 0,3.
Ответ: 0,3.
В треугольнике известно, что , внешний угол при вершине равен . Найдите длину медианы .
Проверяется свойство равнобедренного треугольника и медианы. Внешний угол C равен 150°, значит внутренний угол C равен 30°. Так как AB = BC = 44, основание AC лежит напротив вершины B, а углы A и C равны; следовательно, угол A также 30°, а угол B равен 120°. В равнобедренном треугольнике медиана BK к основанию является высотой и биссектрисой. В прямоугольном треугольнике BKC гипотенуза BC равна 44, а угол C равен 30°, поэтому BK = 44/2 = 22.
Ответ: 22.
| Стороны параллелограмма равны 8 и 16. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 12. Найдите длину высоты, проведённой к бо́льшей стороне параллелограмма. |
|
Проверяется нахождение площади параллелограмма и высоты. Площадь равна произведению стороны на высоту: S = 8 · 12 = 96.
Высота к стороне 16 равна 96/16 = 6.
Ответ: 6.
В прямоугольном треугольнике внешний угол при вершине равен . Гипотенуза . Найдите .
Задание проверяет свойство катета, лежащего против угла 30°.
Внутренний угол A смежный с данным внешним углом, поэтому ∠A = 180° − 150° = 30°.
Катет BC лежит против угла A и равен половине гипотенузы: BC = AB/2 = 58/2 = 29 ед.
Ответ: 29.
На окружности по разные стороны от диаметра отмечены точки и . Известно, что . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет вписанные углы и свойство угла, опирающегося на диаметр. Поскольку AB — диаметр, угол ADB прямой. В треугольнике ADB получаем ∠DAB = 180° − 90° − 5° = 85°. Углы DAB и DCB опираются на одну и ту же хорду DB, поэтому равны. Ответ: 85°.
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 3, 9 и 33. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.
Проверяется связь площадей прямоугольников, полученных разрезами. Обозначим ширины левого и правого столбцов через a и b, а высоты верхней и нижней строк — через c и d.
Тогда площади по кругу равны ac = 3, bc = 9 и bd = 33. Произведение диагональных площадей одинаково: (ac)(bd) = (bc)(ad), поэтому площадь четвёртого прямоугольника ad = (3 · 33) : 9 = 11.
Ответ: 11.
