Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
В прямоугольном треугольнике внешний угол при вершине равен . Катет . Найдите гипотенузу .
Проверяется связь внешнего и внутреннего углов треугольника и использование синуса. Внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°, а прямой угол находится при C, поэтому угол B равен 60°. Катет BC = 25 лежит напротив угла A; sin 30° = BC / AB = 1 / 2. Следовательно, AB = 25 · 2 = 50.
Ответ: 50.
В трапеции известно, что , , а её площадь равна 81. Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет формулы площади трапеции и треугольника с общей высотой. Площадь трапеции равна ((AD + BC) / 2) · h = 81, откуда h = 2 · 81 / (5 + 4) = 18. Площадь треугольника ABC равна BC · h / 2 = 4 · 18 / 2 = 36.
Ответ: 36.
На прямой отмечена точка . Луч биссектриса угла . Известно, что . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства смежных углов и биссектрисы.
На рисунке лучи MA и MB противоположны, поэтому ∠CMB = 180° − ∠CMA = 180° − 32° = 148°.
Биссектриса MD делит угол CMB пополам, значит, ∠DMB = 148°/2 = 74°.
Ответ: 74.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
В равнобедренном треугольнике угол равен Высота проведённая к основанию, равна 28. Найдите длину боковой стороны
Проверяется применение свойств равнобедренного треугольника и тригонометрии в прямоугольном треугольнике.
Угол при вершине B равен 120°, поэтому высота BK к основанию делит его пополам: ∠ABK = 60°. В прямоугольном треугольнике ABK сторона BK лежит напротив угла 30°, а AB — гипотенуза. Значит, BK = AB · sin 30° = AB/2, откуда AB = 28 · 2 = 56.
Ответ: 56.
В треугольнике угол равен , сторона равна 36. Тангенс угла равен 2,4. Найдите длину стороны .
Проверяется тригонометрия в прямоугольном треугольнике. Так как ∠C = 90°, tg A = BC/AC, поэтому AC = 36/2,4 = 15. По теореме Пифагора AB = √(36² + 15²) = √1521 = 39.
Ответ: 39.
В треугольнике угол равен . Медиана делит угол пополам и равна 15. Найдите длину стороны .
В параллелограмме диагонали перпендикулярны. Сумма углов и равна , . Найдите .
Задание проверяет свойства углов и диагоналей параллелограмма. Соседние углы в сумме дают 180°, а противоположные равны, поэтому ∠A = ∠C = 60°. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромб, значит все его стороны равны и BD не требуется для нахождения AB: сторона AB = 24. Однако в ромбе с углом 60° диагональ BD равна стороне, поэтому BD = 24. Ответ: 24.
В выпуклом четырехугольнике известно, что , , , . Найдите
угол . Ответ дайте в градусах.
Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный, и его углы при A и C равны: каждый равен (180° − 32°) / 2 = 74°.
Так как AD = CD, треугольник ADC равнобедренный, поэтому его углы при A и C равны: каждый равен (180° − 94°) / 2 = 43°.
Угол A четырёхугольника состоит из этих двух углов: 74° + 43° = 117°.
Ответ: 117.
В трапеции известно, что ,
и . Найдите угол . Ответ дайте
в градусах.
В прямоугольнике одна из сторон равна 40, а диагональ равна 41. Найдите площадь этого прямоугольника.
Проверяются теорема Пифагора и формула площади прямоугольника. Вторая сторона равна √(41² − 40²) = √81 = 9. Площадь равна 40 · 9 = 360.
Ответ: 360.
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 18
и 24. Найдите периметр параллелограмма.
Задание проверяет свойства ромба и теорему Пифагора. Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, — ромб. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому их половины равны 9 и 12 единицам длины. Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника: a = √(9² + 12²) = √225 = 15 единиц длины. Периметр P = 4a = 4 · 15 = 60 единиц длины. Ответ: 60.
Площадь прямоугольника равна 280, сторона . Найдите тангенс угла .
| На окружности радиусом 3 отмечена точка |
|
Задание проверяет теорему Пифагора и свойство угла, опирающегося на диаметр. Так как AB — диаметр окружности радиуса 3, AB = 6, а угол ACB прямой.
В треугольнике ACB по теореме Пифагора BC² = AB² − AC² = 6² − (2√5)² = 36 − 20 = 16, поэтому BC = 4.
Ответ: 4.
В треугольнике известно, что Найдите площадь треугольника
Задание проверяет вычисление площади треугольника. Высота к основанию AC = 12 делит его пополам, так как AB = BC; половина основания равна 6. По теореме Пифагора высота равна √(10² − 6²) = 8. Площадь равна 12 · 8 / 2 = 48.
Ответ: 48.
На окружности по разные стороны от диаметра отмечены точки и . Известно, что . Найдите величину угла . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства вписанных углов. Угол ADB опирается на диаметр AB, поэтому равен 90°. В треугольнике ADB получаем ∠DAB = 180° − 90° − 34° = 56°. Углы DAB и DCB опираются на одну дугу DB, поэтому равны.
Ответ: 56.
В равнобедренном треугольнике внешний угол при основании равен , а медиана , проведённая к основанию, равна 51. Найдите боковую сторону треугольника .
Задание проверяет углы равнобедренного и прямоугольного треугольников. Внутренний угол при основании равен 180° − 150° = 30°. Медиана к основанию равнобедренного треугольника является также высотой, поэтому треугольник ABM прямоугольный и BM = 51 — катет напротив угла 30°. В прямоугольном треугольнике этот катет равен половине гипотенузы, значит боковая сторона равна 2 · 51 = 102. Ответ: 102.
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 8. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Задание проверяет формулу площади круга и вычисление площади кольца. На рисунке радиус внутреннего круга равен 2 клеткам, а внешнего — 3 клеткам. По формуле S = πr² площади кругов относятся как 3²/2² = 9/4, поэтому площадь внешнего круга равна 8 · 9/4 = 18 кв. ед. Площадь заштрихованного кольца равна 18 − 8 = 10 кв. ед. Ответ: 10.
В равнобедренном треугольнике основание , . Найдите площадь треугольника .
Высота равнобедренного треугольника к основанию делит его пополам: половина основания равна 36 : 2 = 18. В прямоугольном треугольнике у вершины A тангенс угла равен отношению высоты к половине основания, поэтому высота равна 18 · 11/6 = 33. Площадь равна половине произведения основания на высоту: 36 · 33 : 2 = 594.
Ответ: 594.
В трапеции известно, что , , а её площадь равна 84. Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет формулы площадей трапеции и треугольника. Основания AD и BC параллельны, поэтому высота треугольника ABC к стороне BC равна высоте трапеции h. Из формулы площади трапеции получаем: 84 = (6 + 1) · h/2, откуда h = 24. Тогда S треугольника ABC = 1 · 24/2 = 12 кв. ед. Ответ: 12.
В треугольнике внешние углы при вершинах и равны , . Найдите длину биссектрисы .
Задание проверяет свойства внешних углов треугольника и длину биссектрисы. Внутренние углы A и C равны 180° − 150° = 30°, поэтому угол B равен 120°. По теореме синусов стороны BA и BC равны, значит биссектриса BK в равнобедренном треугольнике является высотой. Тогда в прямоугольном треугольнике ABK: BK = 14 · sin 30° = 7.
Ответ: 7.
