Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
Найдите площадь ромба, если его высота равна 18,
а острый угол равен .
Задание проверяет формулы площади ромба и синуса угла. Если сторона ромба равна a, его высота равна a · sin 30° = a/2. Значит, a = 36, а площадь равна произведению стороны на высоту: 36 · 18 = 648.
Ответ: 648.
Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен а площадь квадрата равна 64.
Задание проверяет умение находить площади квадрата и ромба.
Площадь квадрата равна a² = 64, где a — общая длина стороны квадрата и ромба.
Площадь ромба S = a² · sin 30° = 64 · 0,5 = 32 кв. ед.
Ответ: 32.
| В треугольнике на сторонах и отмечены точки и соответственно так, что , а . Во сколько раз площадь треугольника больше площади треугольника ? |
|
Задание проверяет отношение площадей треугольников с общей вершиной и углом. Поскольку BM/BA = 1/2 и BK/BC = 2/3, площадь MBK составляет 1/2 · 2/3 = 1/3 площади ABC. Значит, площадь ABC больше площади MBK в 3 раза. Ответ: 3.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
правильный восьмиугольник. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Используем свойство правильного многоугольника: дуги между соседними вершинами равны, поэтому центральный угол равен 360° : 8 = 45°.
Угол DBE — вписанный; он опирается на дугу DE, поэтому равен половине этой дуги: 45° : 2 = 22,5°.
Ответ: 22,5.
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна длины окружности. Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет связь дуги окружности с центральным и вписанным углами. Дуга составляет 13/36 длины окружности, значит соответствующий центральный угол равен 360° · 13/36 = 130°.
Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, вдвое меньше центрального: 130° / 2 = 65°.
Ответ: 65.
В равнобедренном треугольнике внешний угол при основании равен , а медиана , проведённая к основанию, равна 28. Найдите боковую сторону треугольника .
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и теорему Пифагора. Внешний угол при основании равен 150°, значит внутренний угол при основании равен 30°. Медиана к основанию в равнобедренном треугольнике является высотой, поэтому треугольник ABM прямоугольный, а угол BAM равен 30°. В треугольнике ABM катет BM = 28 лежит напротив угла 30°, значит гипотенуза AB вдвое больше: 56. Ответ: 56.
| В равнобедренном треугольнике боковые Найдите . |
|
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и определение косинуса.
Медиана BM, проведённая к основанию, является высотой, поэтому треугольник ABM прямоугольный.
По теореме Пифагора AM = √(5² − 4²) = 3 ед.
Поскольку M лежит на AC, cos ∠BAC = AM/AB = 3/5 = 0,6.
Ответ: 0,6.
В параллелограмме диагонали перпендикулярны. Сумма углов и равна , . Найдите .
В параллелограмме диагонали делят его углы пополам и равны 10
и 24. Найдите периметр параллелограмма .
Задание проверяет свойства ромба и применение теоремы Пифагора.
Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, этот параллелограмм — ромб.
Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому их половины равны 5 и 12.
Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника: a = √(5² + 12²) = √169 = 13.
Периметр P = 4a = 4 · 13 = 52.
Ответ: 52.
В треугольнике известно, что Найдите площадь треугольника
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и вычисление его площади. Проведём высоту BM к основанию AC: она также является медианой, поэтому AM = 14/2 = 7. По теореме Пифагора BM = √(25² − 7²) = √576 = 24 единицы длины. Площадь равна половине произведения основания на высоту: S = AC · BM/2 = 14 · 24/2 = 168 квадратных единиц. Ответ: 168.
| В треугольнике угол равен , , . Найдите . |
|
Задание проверяет теорему Пифагора и определение синуса острого угла прямоугольного треугольника. Гипотенуза AB = 4, а противолежащий углу A катет BC = √(4² − (√15)²) = 1. Следовательно, sin A = BC / AB = 1 / 4 = 0,25. Ответ: 0,25.
Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен угол равен Найдите угол Ответ дайте в градусах.
Вписанный четырёхугольник имеет сумму противоположных углов 180°.
Поэтому угол BAD равен 180° − 54° = 126°.
В треугольнике ABD угол ABD равен 180° − 126° − 41° = 13°.
Ответ: 13.
Катет прямоугольного треугольника равен 40, одна из средних линий равна 4,5. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Задание проверяет свойство средней линии треугольника и теорему Пифагора.
Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна, поэтому соответствующая сторона равна 9. Если это катет, то гипотенуза равна √(40² + 9²) = 41.
Если же средней линией задана половина гипотенузы, гипотенуза была бы равна 9, что невозможно при катете 40. Значит, подходит первый случай.
Ответ: 41.
В прямоугольнике сторона равна 24, . Найдите площадь прямоугольника.
Задание проверяет тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике и площадь прямоугольника. В прямоугольнике AD = BC = 24, а tg ∠CAD = CD/AD = 3/4. Поэтому CD = 24 · 3/4 = 18, и площадь равна AD · CD = 24 · 18 = 432. Ответ: 432.
В угол с вершиной , равный , вписана окружность
с центром , которая касается сторон угла в точках и . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Проверяется связь углов между касательными и радиусами, проведёнными в точки касания. Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным, поэтому в четырёхугольнике CAOB углы при A и B равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, значит, ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 128° = 52°.
Ответ: 52.
На прямой отмечена точка . Луч биссектриса угла . Известно, что . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства смежных углов и биссектрисы. Так как лучи MA и MB противоположны, ∠CMB = 180° − 102° = 78°. Луч MD делит этот угол пополам, значит ∠DMB = 78°/2 = 39°. Ответ: 39.
В параллелограмме известно, что , . Найдите площадь параллелограмма.
В параллелограмме с равными диагоналями диагональные треугольники дают равные боковые стороны; значит, данный параллелограмм — прямоугольник.
Его диагональ равна 25, сторона AB — 24. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике на диагонали вторая сторона равна √(25² − 24²) = √49 = 7.
Площадь равна 24 · 7 = 168.
Ответ: 168.
| Стороны параллелограмма равны 10 и 15. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 12. Найдите длину высоты, проведённой к бо́льшей стороне параллелограмма. |
|
Проверяется формула площади параллелограмма: площадь равна произведению стороны на проведённую к ней высоту.
Площадь равна 10 · 12 = 120. Тогда высота к стороне 15 равна 120 : 15 = 8.
Ответ: 8.
В угол с вершиной , равный , вписана окружность
с центром , которая касается сторон угла в точках и . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства угла и окружности. Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным, поэтому в четырёхугольнике CAOB углы при A и B прямые. Тогда ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 62° = 118°.
Ответ: 118.
В треугольнике угол равен . Медиана делит угол пополам и равна 21. Найдите длину стороны .
Задание проверяет свойства треугольника и тригонометрию в прямоугольном треугольнике.
Медиана BM делит сторону AC пополам, а поскольку она одновременно делит угол B пополам, по теореме о биссектрисе AB = BC. Значит, треугольник равнобедренный, а BM к основанию AC — высота; угол ABM равен 60°.
В прямоугольном треугольнике ABM: cos 60° = BM/AB, поэтому AB = 21/0,5 = 42.
Ответ: 42.
