Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется сумма углов выпуклого четырёхугольника и свойство равнобедренных треугольников.

Проведём диагональ AC. Из AB = BC следует, что треугольник ABC равнобедренный, поэтому ∠BAC = ∠ACB. Из AD = CD следует, что треугольник ACD равнобедренный, поэтому ∠DAC = ∠ACD.

Углы A и C четырёхугольника равны соответственно суммам этих пар углов, значит, ∠A = ∠C. Тогда 2∠A + 56° + 176° = 360°, откуда ∠A = 64°.

Ответ: 64.

Задание проверяет теорему Пифагора и свойство угла, опирающегося на диаметр.

Поскольку AB — диаметр, угол ACB равен 90°. Тогда AB² = AC² + BC² = 5² + 12² = 169, значит, AB = 13.

Радиус вдвое меньше диаметра: 13 / 2 = 6,5.

Ответ: 6,5.

Задание проверяет свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр, и теорему Пифагора.

Угол ACB равен 90°, поскольку он опирается на диаметр AB.

Поэтому AB = √(AC² + BC²) = √(9² + 40²) = √1681 = 41.

Радиус равен половине диаметра: R = 41 / 2 = 20,5 единицы длины.

Ответ: 20,5.

Задание проверяет свойства равнобедренной трапеции и сумму углов треугольника. Так как AB = CD, трапеция равнобедренная, поэтому углы при основании AD равны. Угол CDA равен 19° + 64° = 83°, значит, ∠BAD = 83°. Тогда в треугольнике ABD: ∠ABD = 180° − 64° − 83° = 33°.

Ответ: 33.

Задание проверяет свойство средней линии треугольника и теорему Пифагора. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине.

Значит, гипотенуза равна 2 × 3 = 6? Это противоречит данному катету: гипотенуза должна быть больше катета 8. Для отрезка между серединой гипотенузы и серединой катета длина равна половине второго катета, значит второй катет равен 6. Тогда гипотенуза равна √(8² + 6²) = √100 = 10.

Ответ: 10.

Проверяется нахождение площади трапеции по основаниям и высоте.

Боковая сторона длиной 10 образует угол 150° с основанием, поэтому высота равна 10 · sin 150° = 5.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: ((11 + 21)/2) · 5 = 80.

Ответ: 80.

Из AB = BC следует, что треугольник ABC равнобедренный, а из AD = CD — что равнобедренный треугольник ADC имеет основание AC.

Угол B равен 17°, поэтому углы A и C в треугольнике ABC равны (180° − 17°) / 2 = 81,5°.

Угол D равен 101°, значит углы DAC и ACD равны (180° − 101°) / 2 = 39,5°.

Угол четырёхугольника A состоит из углов BAC и CAD: 81,5° + 39,5° = 121°.

Ответ: 121.

Задание проверяет свойства ромба и прямоугольного треугольника. В ромбе равные или смежные углы: сумма двух углов 120° означает, что это два угла по 60°. Периметр 52, значит, сторона ромба равна 52 : 4 = 13. Меньшая диагональ соединяет вершины с острыми углами и вместе с двумя сторонами образует равносторонний треугольник, поэтому её длина равна 13.

Ответ: 13.

Проверяется свойство равнобедренного треугольника: углы при основании равны.

Внешний угол при B равен сумме внутренних углов, не смежных с ним: ∠A + ∠C = 107°. Так как AC = BC, противоположные им углы равны: ∠A = ∠B. Внутренний угол B равен 180° − 107° = 73°, значит, ∠A = 73°.

Тогда ∠C = 180° − 73° − 73° = 34°.

Ответ: 34.

Задание проверяет углы правильного многоугольника и вписанные углы.

У правильного десятиугольника центральный угол между соседними вершинами равен 360° / 10 = 36°. Угол IBJ опирается на дугу IJ, поэтому он равен половине центрального угла: 36° / 2 = 18°.

Ответ: 18.

Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому ∠A = ∠C = 60°. Перпендикулярные диагонали параллелограмма означают, что это ромб, значит, все его стороны равны. Следовательно, BD = AB = 63. Ответ: 63.

Задание проверяет свойства параллелограмма и диагоналей. Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то его стороны равны, поэтому это ромб. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам: половины диагоналей равны 48 и 14. Сторона равна √(48² + 14²) = √2500 = 50, поэтому периметр равен 4 · 50 = 200. Ответ: 200.

Задание проверяет свойства вписанного четырёхугольника и вписанных углов.

Углы ABD и ACD опираются на одну хорду AD, поэтому ∠ACD = 77°. Тогда ∠ADC = 180° − 77° − 43° = 60°.

Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме равны 180°, значит ∠ABC = 180° − 60° = 120°.

Ответ: 120.

По клеткам радиус внутреннего круга равен 1 клетке, а радиус внешнего — 4 клеткам. Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, значит площадь внешнего круга в 4² = 16 раз больше площади внутреннего.

Заштрихованная площадь равна 6 · (16 − 1) = 90.

Ответ: 90.

Проверяется: смежные углы и свойство биссектрисы.

Так как A, M и B лежат на одной прямой, ∠CMB = 180° − 92° = 88°. Луч MD делит этот угол пополам, поэтому ∠DMB = 88° : 2 = 44°.

Ответ: 44.

Задание проверяет свойства равнобедренных треугольников и сумму углов выпуклого четырёхугольника.

Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. Так как AD = CD, треугольник ADC равнобедренный с тем же основанием AC.

Поэтому ∠A = ∠C, а сумма углов четырёхугольника равна 360°: ∠A = (360° − 77° − 141°) / 2 = 71°.

Ответ: 71.

Задание проверяет тангенс острого угла прямоугольного треугольника и площадь прямоугольника. В треугольнике ACD угол при D прямой, поэтому tg∠CAD = CD : AD = 0,8. Так как AB = CD = 16, получаем AD = 16 : 0,8 = 20. Площадь равна 16 · 20 = 320.

Ответ: 320.

Задание проверяет вписанные углы и связь длины дуги с длиной окружности. Дуга составляет 1/12 окружности, значит соответствующий центральный угол равен 360° / 12 = 30°. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, вдвое меньше: 30° / 2 = 15°. Ответ: 15.