Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет тангенс острого угла прямоугольного треугольника и площадь треугольника. Высота к основанию равнобедренного треугольника делит основание пополам. Для одного из получившихся прямоугольных треугольников tg A = 15 / AM = 2,5, значит AM = 6 и основание AC = 12. Площадь равна 12 · 15 / 2 = 90. Ответ: 90.

Проверяются равнобедренный треугольник и свойство внешнего угла. Так как AC = BC, углы при основании A и B равны. Внутренний угол B равен 180° − 123° = 57°, значит ∠A = 57°. Тогда ∠C = 180° − 57° − 57° = 66°.

Ответ: 66.

Проверяется свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр. Так как AB — диаметр, угол ADB равен 90°. В треугольнике ADB угол DAB равен 90° − 39° = 51°. Углы DAB и DCB опираются на одну хорду DB, поэтому они равны.

Ответ: 51.

Задание проверяет свойства прямоугольного треугольника и синус острого угла. Внешний угол при A равен 150°, поэтому внутренний угол A равен 30°. Гипотенуза AB равна 7, а катет BC лежит напротив угла 30°. Поэтому BC = AB · sin 30° = 7 · 0,5 = 3,5.

Ответ: 3,5.

Проверяется применение свойств равнобедренного треугольника и теоремы Пифагора. Медиана к основанию делит его пополам, поэтому AM = 50 / 2 = 25. В прямоугольном треугольнике ABM: BM² = 65² − 25² = 3600, откуда BM = 60. Ответ: 60.

Задание проверяет свойства радиусов окружности и равностороннего треугольника.

Лучи OA и OB противоположны, поэтому ∠AOC = 180° − 120° = 60°.

В треугольнике AOC стороны OA и OC равны как радиусы, поэтому углы при основании равны и каждый составляет (180° − 60°)/2 = 60°.

Треугольник AOC равносторонний, значит радиус OA = AC = 23.

Диаметр AB = 2 · 23 = 46.

Ответ: 46.

Задание проверяет знание величины полного угла.

Шесть спиц делят полный угол вокруг центра колеса на шесть равных углов.

Полный угол равен 360°, поэтому угол между соседними спицами равен 360°/6 = 60°.

Ответ: 60.

Проверяются свойства внешних углов треугольника и биссектрисы. Внутренние углы A и C равны 180° − 150° = 30°, поэтому угол B равен 120°. Биссектриса BK делит его пополам: угол ABK равен 60°. По рисунку K лежит на AC, а треугольник ABK прямоугольный; AB — его гипотенуза, поэтому BK = 58 · cos 60° = 29.

Ответ: 29.

Проверяется: свойства углов треугольника и биссектрисы.

Углы ALC и ALB смежные, поэтому ∠ALB = 180° − 155° = 25°.

В треугольнике ABL: ∠BAL = 180° − 139° − 25° = 16°. Так как AL — биссектриса, ∠LAC = 16°.

В треугольнике ALC: ∠ACB = 180° − 155° − 16° = 9°.

Ответ: 9.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и биссектрисы.

Внутренние углы при A и C равны 180° − 150° = 30°, поэтому AB = BC.

В равнобедренном треугольнике биссектриса BK является высотой, значит, треугольник ABK прямоугольный.

Катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы: BK = AB/2 = 26/2 = 13.

Ответ: 13.

Задание проверяет свойства медианы, высоты и равнобедренного треугольника.

Так как BM — медиана к AC = 18, точка M — середина AC, поэтому AM = MC = 9. Из BC = BM следует, что треугольник BCM равнобедренный.

Высота BH к основанию MC одновременно является медианой, поэтому MH = 4,5. Тогда AH = AM + MH = 9 + 4,5 = 13,5.

Ответ: 13,5.

Проверяется связь центрального угла и прямоугольного треугольника. Так как AB — диаметр, угол AOB равен 180°, поэтому угол AOC = 180° − 120° = 60°. OA = OC, значит треугольник AOC равносторонний и радиус равен AC = 18. Диаметр равен 2 · 18 = 36. Ответ: 36.

Задание проверяет свойства медианы и биссектрисы в треугольнике. Поскольку BM одновременно медиана и биссектриса, треугольник равнобедренный: AB = BC, а BM перпендикулярна AC. В прямоугольном треугольнике ABM угол ABM равен 60°, поэтому AB = BM / cos 60° = 28 / 0,5 = 56. Ответ: 56.

Проверяется формула площади прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Второй катет равен 2 · 210 / 21 = 20.

Гипотенуза равна √(21² + 20²) = √841 = 29.

Ответ: 29.

Задание проверяет свойства ромба и его диагоналей. Сумма двух углов равна 120°, значит, это два меньших угла по 60° каждый.

Меньшая диагональ соединяет вершины с меньшими углами и вместе со сторонами ромба образует два равносторонних треугольника. Поэтому сторона ромба равна 6, а периметр равен 4 · 6 = 24.

Ответ: 24.

Задание проверяет свойства медианы и высоты равнобедренного треугольника.

Медиана BM делит сторону AC пополам, поэтому AM = MC = 38/2 = 19.

Поскольку BC = BM, треугольник BMC равнобедренный с основанием MC.

Его высота BH является также медианой, поэтому MH = MC/2 = 19/2 = 9,5.

Следовательно, AH = AM + MH = 19 + 9,5 = 28,5.

Ответ: 28,5.

Задание проверяет теорему о вписанном прямоугольном треугольнике и определение синуса. Так как AB — диаметр окружности радиуса 10, AB = 20, а угол ACB прямой. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 20, а катет AC равен 18. По теореме Пифагора BC = √(20² − 18²) = √76. Тогда sin∠ABC = AC / AB = 18 / 20 = 0,9.

Ответ: 0,9.