Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Задача проверяет медиану к основанию равнобедренного треугольника. В треугольнике ABM стороны AB и BM равны 70, а AM — половина основания AC, то есть 42.

По теореме Пифагора BM² = 70² − 42² = 4900 − 1764 = 3136, поэтому BM = 56.

Ответ: 56.

Задание проверяет формулу площади ромба и применение синуса в прямоугольном треугольнике. Высота ромба h связана с его стороной a равенством h = a · sin 30°. Так как sin 30° = 1/2, получаем a = 20 : (1/2) = 40 ед. Площадь ромба S = a · h = 40 · 20 = 800 кв. ед. Ответ: 800.

Задание проверяет свойство средней линии треугольника и теорему Пифагора. Отрезок MN — средняя линия, поэтому AC = 2 · MN = 96 ед., а AK = AC/2 = 48 ед. В равнобедренном треугольнике медиана BK к основанию является также высотой. В прямоугольном треугольнике ABK получаем AB = √(48² + 14²) = √2500 = 50 ед. Ответ: 50.

Проверяются свойства параллелограмма и его диагоналей. Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами углов, то его соседние стороны равны, а сам параллелограмм — ромб. В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина диагонали AC равна 42; вместе с половиной BD и стороной AB = 58 она образует прямоугольный треугольник. Поэтому (BD / 2)² = 58² − 42² = 1600, BD / 2 = 40, откуда BD = 80.

Ответ: 80.

Проверяется свойство средней линии треугольника и теорема Пифагора. Средняя линия, соединяющая середины боковых сторон, равна половине основания, значит AC = 2 · 21 = 42. Медиана к основанию равнобедренного треугольника также является высотой и делит основание пополам, поэтому половина основания равна 21. Боковая сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 20 и 21: √(20² + 21²) = 29.

Ответ: 29.

Проверяется свойство биссектрисы угла и перпендикулярности радиуса касательной. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе, значит ∠ACO = 72° / 2 = 36°.

Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным CA и CB. В четырёхугольнике AOB C углы при A и B равны 90°, поэтому ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 72° = 108°.

Ответ: 108.

Проверяется свойство диагоналей ромба и определение синуса. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому половины диагоналей равны 8 и 6. В прямоугольном треугольнике с углом BAC противолежащий катет равен 6, а гипотенуза AB = √(8² + 6²) = 10. Следовательно, sin ∠BAC = 6/10 = 0,6.

Ответ: 0,6.

Задание проверяет определение тангенса и формулу площади прямоугольника.

Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому AD = BC = 45.

В прямоугольном треугольнике ACD tg ∠CAD = CD/AD = 4/5, откуда CD = 45 · 4/5 = 36.

Площадь прямоугольника S = AD · CD = 45 · 36 = 1620 квадратных единиц.

Ответ: 1620.

Проверяются свойства диагоналей ромба и формула его площади. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половина второй диагонали равна √(13² − 12²) = 5, где 12 — половина диагонали длиной 24. Вторая диагональ равна 10, а площадь равна 24 · 10 / 2 = 120.

Ответ: 120.

Задание проверяет углы при параллельных прямых и секущих.

По рисунку угол 1 смежен с углом между двумя секущими, поэтому этот угол равен 180° − 31° = 149°.

Угол 2 и угол 3 вместе с углом 149° образуют треугольник между прямыми: ∠3 = 180° − 149° − (180° − 106°) = 43°.

Ответ: 43.

Проверяется тангенс угла в прямоугольном треугольнике и формула площади. Высота BM к основанию равнобедренного треугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Для угла A: tg A = BM / AM, значит, AM = 2 / 0,4 = 5.

Тогда основание AC = 2 · 5 = 10, а площадь равна AC · BM / 2 = 10 · 2 / 2 = 10.

Ответ: 10.

Проверяется применение формул площади трапеции и треугольника. Пусть h — высота трапеции. Тогда 77 = (8 + 3) · h/2, откуда h = 14. У треугольника ABC основание BC равно 3, а высота к нему равна высоте трапеции, поэтому его площадь равна 3 · 14/2 = 21. Ответ: 21.

Задание проверяет косинус угла в прямоугольном треугольнике. Так как AB — диаметр окружности, ∠ACB = 90°.

AB = 2 · 32 = 64. Для угла BAC прилежащий катет — AC, поэтому cos ∠BAC = AC / AB = 8 / 64 = 0,125.

Ответ: 0,125.

Задание проверяет углы прямоугольного треугольника и тригонометрические соотношения. Внешний угол при A равен 150°, значит внутренний угол A равен 30°. Катет BC = 6 лежит напротив угла 30°, а в прямоугольном треугольнике он равен половине гипотенузы. Поэтому AB = 2 · 6 = 12.

Ответ: 12.

Проверяется связь внешнего и внутреннего углов и синус угла в прямоугольном треугольнике. Внутренний угол A равен 180° − 120° = 60°; поскольку треугольник прямоугольный, угол C равен 90°.

Катет AC лежит напротив угла B, равного 30°. В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы, поэтому AB = 2 · 17 = 34.

Ответ: 34.

Проверяется тема «Планиметрия»: свойства диагоналей ромба и синус угла в прямоугольном треугольнике. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половины диагоналей равны 24 и 7. В прямоугольном треугольнике с этими катетами сторона ромба равна √(24² + 7²) = 25.

Для угла BAC противолежащий катет равен 7, а гипотенуза — 25, значит, sin BAC = 7/25 = 0,28.

Ответ: 0,28.

Задание проверяет свойство радиусов, проведённых к точкам касания. Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным, поэтому в четырёхугольнике CAOB два угла равны 90°, а угол C равен 133°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, значит ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 133° = 47°. Ответ: 47.