Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

В треугольнике BCD точка M — середина BC, поэтому AM — медиана треугольника ABC. Удобно задать координаты: A=(0,0), D=(1,0), B=(u,v), C=(u+1,v).

Тогда M=(u+1/2,v). Точка K лежит на BD и на AM; из равенства координат этих пересекающихся прямых следует, что BK : KD = 1 : 2.

Значит, BK составляет треть BD: 12 : 3 = 4.

Ответ: 4.

Проверяется умение использовать тангенс угла прямоугольного треугольника и находить площадь прямоугольника.

В треугольнике ACD: tg ∠CAD = CD/AD = 0,64. Поскольку CD = AB = 16, получаем AD = 16/0,64 = 25.

Площадь прямоугольника равна 16 · 25 = 400.

Ответ: 400.

В равнобедренной трапеции разность оснований делится поровну между двумя прямоугольными треугольниками у боковых сторон. Горизонтальный катет каждого такого треугольника равен (21−11)/2=5, а гипотенуза равна 13. По теореме Пифагора высота равна √(13²−5²)=√144=12. Ответ: 12.

Проверяется свойство медианы и биссектрисы, проведённых из одной вершины: если они совпадают, то прилежащие к вершине стороны равны.

Значит, AB = BC, а медиана BM к основанию AC одновременно является высотой. В прямоугольном треугольнике ABM угол ABM равен 60°, BM = 8, поэтому AB = BM : cos 60° = 8 : 0,5 = 16.

Ответ: 16.

Задание проверяет определение тангенса и формулу площади треугольника.

В прямоугольном треугольнике ABM имеем tg A = BM/AM, поэтому AM = 11/2,2 = 5 ед.

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой, значит AC = 2 · 5 = 10 ед.

Площадь S = AC · BM/2 = 10 · 11/2 = 55 кв. ед.

Ответ: 55.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина диагонали AC равна 5, поэтому для половины второй диагонали по теореме Пифагора получаем √(41 − 25) = 4.

Диагональ AC делит угол BAC на прямоугольный треугольник с катетами 5 и 4. Поэтому tg ∠BAC = 4 / 5 = 0,8.

Ответ: 0,8.

Задание проверяет отношение площадей треугольников с общим углом.

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

Угол B общий, поэтому S(MBK) / S(ABC) = (BM / BA) · (BK / BC) = 1/2 · 10/13 = 5/13.

Значит, площадь ABC больше площади MBK в 13/5 = 2,6 раза.

Ответ: 2,6.

В правильном десятиугольнике внутренний угол равен 180° · (10 − 2) : 10 = 144°.

Угол FGH образован сторонами GF и GH, то есть это внутренний угол многоугольника при вершине G.

Ответ: 144.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и медианы. Внешний угол при C равен 150°, поэтому внутренний угол C равен 180° − 150° = 30°. Так как AB = BC, углы A и C равны, значит угол A тоже 30°, а угол B равен 120°. Медиана BK к основанию AC в равнобедренном треугольнике также является высотой, поэтому в прямоугольном треугольнике BKC угол C равен 30°, а гипотенуза BC = 26. Тогда BK = 26 · sin 30° = 13.

Ответ: 13.

Задание проверяет признак прямоугольника и применение теоремы Пифагора.

Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

Его диагональ образует со смежными сторонами прямоугольный треугольник, поэтому 11² + b² = 61².

Другая сторона b = √(3721 − 121) = √3600 = 60 единиц длины.

Ответ: 60.

Задание проверяет формулу площади треугольника и теорему Пифагора. Высота к основанию равна 2S / AC = 240 / 30 = 8; в равнобедренном треугольнике она делит основание пополам, значит половина основания равна 15.

Боковая сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 8 и 15: AB = √(8² + 15²) = √289 = 17.

Ответ: 17.

Задание проверяет площадь прямоугольного треугольника и определение тангенса: tg B = AC/BC. Поэтому AC = 40 · 3/8 = 15.

Площадь равна половине произведения катетов: S = AC · BC/2 = 15 · 40/2 = 300.

Ответ: 300.

Задание проверяет связь между длиной дуги, центральным и вписанным углами. Дуга составляет 5/12 окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен 360° · 5/12 = 150°. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, вдвое меньше: 150° / 2 = 75°.

Ответ: 75.

Задание проверяет свойства четырёхугольника с двумя парами равных соседних сторон и сумму его углов.

Из AB=BC следует, что треугольник ABC равнобедренный с вершиной при B, поэтому углы A и C при основании равны. Из AD=CD следует, что треугольник ADC равнобедренный с вершиной при D, поэтому его углы A и C также равны. Угол B равен 69°, а угол D — 125°, значит сумма углов A и C равна 360°−69°−125°=166°; следовательно, каждый из них равен 83°.

Ответ: 83.

Задание проверяет косинус острого угла и теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике cos A = AC/AB, поэтому AC = 68·8/17 = 32. Тогда BC = √(AB² − AC²) = √(68² − 32²) = 60. Ответ: 60.

Проверяется нахождение площади прямоугольного треугольника через его стороны.

Так как sin A = BC/AB = 2/√5, то BC = 3√5 · 2/√5 = 6. По теореме Пифагора AC = √((3√5)² − 6²) = 3. Площадь равна AC · BC / 2 = 3 · 6 / 2 = 9.

Ответ: 9.

Задание проверяет свойства равнобедренной трапеции и сумму углов треугольника. Из AB = CD следует, что углы при основании AD равны. Так как основания трапеции параллельны, углы BAD и BCD в сумме дают 180°, а в треугольнике BCD ∠BCD = 180° − 49° − 13° = 118°. Значит, ∠BAD = 62°, и ∠ABD = 180° − 49° − 62° = 69°. Ответ: 69.

Задание проверяет свойства внешних углов треугольника и биссектрисы. Внутренние углы A и C равны 180° − 150° = 30°, значит угол B равен 120°.

Биссектриса BK делит угол B пополам, поэтому в треугольнике ABK углы A и ABK равны 30° и 60°. По теореме синусов BK/sin 30° = AB/sin 90°, откуда BK = 22 · 1/2 = 11.

Ответ: 11.