Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 28, боковая сторона равна 17. Найдите длину диагонали трапеции.
Задание проверяет свойства равнобедренной трапеции и теорему Пифагора. Разность оснований равна 28 − 12 = 16, поэтому проекция каждой боковой стороны на большее основание равна 16 / 2 = 8. Высота трапеции равна √(17² − 8²) = 15. Горизонтальная проекция диагонали равна 8 + 12 = 20, поэтому её длина равна √(20² + 15²) = 25.
Ответ: 25.
В ромбе диагональ , диагональ . Найдите синус угла .
Проверяется применение свойств диагоналей ромба и тригонометрии прямоугольного треугольника.
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей, катеты равны 5√3 и 5, поэтому гипотенуза равна √(75 + 25) = 10. Синус угла BAC равен отношению противолежащего катета 5 к гипотенузе 10, то есть 0,5.
Ответ: 0,5.
На окружности с центром отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 66. Найдите длину большей дуги.
Задание проверяет связь длины дуги с её центральным углом. Большей дуге соответствует угол 360° − 135° = 225°. Длины дуг одной окружности пропорциональны соответствующим центральным углам, поэтому длина большей дуги равна 66 · 225/135 = 110 единиц длины. Ответ: 110.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
Площадь прямоугольника равна 2420, сторона . Найдите тангенс угла .
Задание проверяет площадь прямоугольника и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Вторая сторона прямоугольника равна 2420 ÷ 55 = 44. В треугольнике ACD катеты AD = 55 и CD = 44, поэтому tan ∠CAD = CD/AD = 44/55 = 0,8.
Ответ: 0,8.
В прямоугольном треугольнике угол равен , . Гипотенуза . Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике и вычисление площади.
Так как cos B = BC/AB = 0,8, то BC = 0,8 · 15 = 12. По теореме Пифагора AC = √(15² − 12²) = 9.
Площадь равна AC · BC / 2 = 9 · 12 / 2 = 54.
Ответ: 54.
Основания трапеции равны 6 и 12, боковая сторона, равная 6, образует с одним из оснований трапеции угол . Найдите площадь трапеции.
Проверяется площадь трапеции. Высота равна 6 · sin 150° = 3. Площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту: ((6 + 12)/2) · 3 = 27.
Ответ: 27.
Сумма двух углов ромба равна а его меньшая диагональ равна 18. Найдите периметр ромба.
Задание проверяет свойства углов и диагоналей ромба. Смежные углы ромба в сумме дают 180°, поэтому сумма двух равных больших углов равна 240°, а каждый из них равен 120°. Меньшая диагональ соединяет вершины с углами 120° и делится другой диагональю пополам; половина диагонали равна 9. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой-стороной ромба катет 9 лежит напротив угла 30°, поэтому сторона ромба равна 18. Периметр равен 4 · 18 = 72.
Ответ: 72.
Обе диагонали параллелограмма равны 29. Одна из сторон параллелограмма равна 21. Найдите другую сторону параллелограмма.
Задание проверяет свойства параллелограмма и применение теоремы Пифагора.
Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник, поэтому его стороны и диагональ образуют прямоугольный треугольник.
Другую сторону найдём по теореме Пифагора: √(29² − 21²) = √(841 − 441) = √400 = 20.
Ответ: 20.
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, , . Найдите .
Задание проверяет свойства параллелограмма и диагоналей. Если диагонали являются биссектрисами углов параллелограмма, то он является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половина диагонали AC равна 36. По теореме Пифагора: (BD/2)² = 39² − 36² = 225, значит BD/2 = 15 и BD = 30.
Ответ: 30.
В равнобедренном треугольнике основание , . Найдите площадь треугольника .
Проверяется: тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике и площадь треугольника.
Высота из вершины B делит основание AC пополам: каждая часть равна 24/2 = 12. По определению тангенса tg A = h/12 = 7/6, значит, высота h = 14.
Площадь равна (24 · 14)/2 = 168.
Ответ: 168.
В параллелограмме диагонали перпендикулярны. Сумма углов и равна , . Найдите .
В равнобедренном треугольнике угол равен . Высота , проведённая к основанию, равна 30. Найдите боковую сторону .
Задание проверяет тригонометрию в прямоугольном треугольнике. Высота BK к основанию равнобедренного треугольника делит угол при вершине пополам, поэтому угол ABK равен 60°. В прямоугольном треугольнике ABK cos 60° = BK/AB = 30/AB. Так как cos 60° = 0,5, получаем AB = 60.
Ответ: 60.
| В треугольнике известно, что , , . Найдите длину стороны . |
|
Проверяются тангенс острого угла прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Опустим высоту из B на AC; пусть её основание — H. Так как AB = BC, высота делит основание пополам: AH = HC = 4. По условию tg ∠BAC = BH/AH = 3/4, откуда BH = 3. Тогда AB = √(AH² + BH²) = √(16 + 9) = 5. Ответ: 5.
На окружности по разные стороны от диаметра отмечены точки и . Известно, что . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет свойства вписанных углов и угла, опирающегося на диаметр. Так как AB — диаметр, ∠ADB = 90°. В треугольнике ADB ∠DAB = 180° − 90° − 32° = 58°, поскольку дан угол DBA = 32°. Углы DAB и DCB опираются на хорду DB и лежат по разные стороны от неё, поэтому равны. Ответ: 58.
Стороны параллелограмма равны 16 и 32. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 24. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.
Задание проверяет связь площади параллелограмма с основанием и высотой.
Площадь равна произведению меньшей стороны на высоту к ней: S = 16 · 24 = 384.
Для большей стороны высота h удовлетворяет 32 · h = 384, поэтому h = 384 / 32 = 12.
Ответ: 12.
Площадь прямоугольника равна 420, а одна из сторон равна 20. Найдите диагональ этого прямоугольника.
Задание проверяет свойства прямоугольника и теорему Пифагора. Вторая сторона равна 420 : 20 = 21. Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 20 и 21: √(20² + 21²) = √841 = 29.
Ответ: 29.
В равнобедренном треугольнике основание , высота , проведенная к основанию, равна 3. Точка середина стороны . Найдите длину отрезка .
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и отрезка, соединяющего середины сторон.
Высота BK к основанию AC является также медианой, поэтому AK = KC = 8/2 = 4. Треугольник BKC прямоугольный, а P — середина его гипотенузы BC.
В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от всех вершин, значит KP = BC/2. По теореме Пифагора BC = √(3² + 4²) = 5, поэтому KP = 2,5.
Ответ: 2,5.
Площадь прямоугольника равна 192, . Найдите синус угла .
Задание проверяет формулу площади прямоугольника, теорему Пифагора и определение синуса. Из равенства S = AB · BC находим AB = 192/12 = 16 ед. В прямоугольном треугольнике ABC диагональ AC = √(16² + 12²) = 20 ед. Тогда sin ∠CAB = BC/AC = 12/20 = 0,6. Ответ: 0,6.
Катет прямоугольного треугольника равен 16, одна из средних линий равна 6. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Проверяется теорема о средней линии треугольника: она параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны. Значит, сторона, которой параллельна средняя линия длиной 6, равна 12.
В прямоугольном треугольнике второй катет равен 16, поэтому по теореме Пифагора гипотенуза равна √(16² + 12²) = √400 = 20.
Ответ: 20.
В треугольнике угол равен . Медиана делит угол пополам и равна 19. Найдите длину стороны .
Задание проверяет теорему о биссектрисе и свойства равнобедренного треугольника. Поскольку BM — медиана, AM = MC; поскольку BM — биссектриса, по теореме о биссектрисе AM/MC = AB/BC. Значит, AB = BC, и BM в равнобедренном треугольнике является высотой. В прямоугольном треугольнике ABM угол ABM равен 60°, поэтому cos 60° = BM/AB = 1/2; отсюда AB = 19 · 2 = 38.
Ответ: 38.
