Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется вписанный угол правильного десятиугольника. Центральный угол между соседними вершинами равен 360° : 10 = 36°. Угол ECI опирается на дугу EI, не содержащую C; эта дуга охватывает четыре промежутка между соседними вершинами и равна 4 · 36° = 144°. Поэтому вписанный угол равен 144° : 2 = 72°.

Ответ: 72.

Проверяется свойство диагоналей параллелограмма: равные диагонали означают, что это прямоугольник. Его диагональ 5 и сторона 4 образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: x² = 5² − 4² = 25 − 16 = 9, значит x = 3. Ответ: 3.

Задание проверяет площадь ромба и связь высоты со стороной. Если сторона ромба равна a, то его высота равна a·sin 30° = a/2, поэтому a = 8. Площадь равна произведению стороны на высоту: 8·4 = 32.

Ответ: 32

Задание проверяет свойства правильного многоугольника и вписанного угла. Центральный угол между соседними вершинами девятиугольника равен 360° / 9 = 40°.

Дуга AH, не содержащая I, включает семь промежутков между соседними вершинами, поэтому её величина равна 7 · 40° = 280°. Вписанный угол AIH равен половине этой дуги: 280° / 2 = 140°.

Ответ: 140.

Проверяется вычисление тангенса острого угла прямоугольного треугольника. В равнобедренной трапеции разность оснований делится поровну между боковыми сторонами: (6 − 2) : 2 = 2.

У боковой стороны с высотой образуется прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3. Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: 3 : 2 = 1,5.

Ответ: 1,5.

Задание проверяет теорему о вписанном угле, опирающемся на диаметр, и теорему Пифагора. Угол ACB прямой, поэтому AB = √(AC² + BC²) = √(16² + 30²) = 34. Радиус равен половине диаметра: 34 / 2 = 17.

Ответ: 17.

Отрезок MN соединяет середины боковых сторон, поэтому это средняя линия треугольника: MN = AC : 2. Значит, основание AC = 2 · 12 = 24, а AK = KC = 12. В равнобедренном треугольнике медиана BK к основанию перпендикулярна ему, поэтому AB — гипотенуза прямоугольного треугольника ABK. По теореме Пифагора AB = √(12² + 5²) = 13.

Ответ: 13.

Проверяется сумма углов четырёхугольника и свойства равнобедренных треугольников. Диагональ AC делит его на два равнобедренных треугольника: из AB = BC следует ∠BAC = (180° − 37°) / 2 = 71,5°, а из AD = CD следует ∠CAD = (180° − 51°) / 2 = 64,5°. Поэтому ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 71,5° + 64,5° = 136°.

Ответ: 136.

Проверяется применение теоремы Пифагора и определение синуса в прямоугольном треугольнике. Так как AB — диаметр, угол ACB равен 90°, а радиус 10, значит AB = 20.

По теореме Пифагора BC = √(AB² − AC²) = √(20² − 13²) = √231. Тогда sin ∠ABC = AC/AB = 13/20 = 0,65.

Ответ: 0,65.

Задание проверяет тангенс угла в прямоугольном треугольнике и вычисление площади.

tg B = AC/BC = 5/12, поэтому AC = 36 · 5/12 = 15. Тогда площадь равна AC · BC / 2 = 15 · 36 / 2 = 270.

Ответ: 270.

Задание проверяет применение синуса и свойства высоты прямоугольного треугольника.

По определению синуса sin A = BC/AB, поэтому AB = 20/0,1 = 200.

Из подобия треугольников BCH и ABC следует BC² = AB · BH.

Тогда BH = BC²/AB = 400/200 = 2 ед. длины.

Ответ: 2.

Задание проверяет формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними. Площадь MBK составляет долю BM/BA · BK/BC от площади ABC, поскольку у этих треугольников общий угол B. Эта доля равна 1/2 · 4/7 = 2/7. Значит, площадь ABC больше площади MBK в 7/2 = 3,5 раза.

Ответ: 3,5.

Проверяется косинус угла в прямоугольном треугольнике. По теореме Пифагора BC = √(20² − 12²) = 16. Тогда cos B = BC / AB = 16 / 20 = 0,8. Ответ: 0,8.

Проверяется связь высоты ромба со стороной и формула площади через сторону и высоту. Для острого угла 30° высота h = a · sin 30°, значит 23 = a/2 и a = 46. Тогда площадь S = a · h = 46 · 23 = 1058.

Ответ: 1058.

Задание проверяет площадь прямоугольника и тангенс угла прямоугольного треугольника. Из площади получаем AB = 360 / 40 = 9, а в прямоугольнике CD = AB = 9 и AD = BC = 40. Для угла CAD тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tan(CAD) = CD / AD = 9 / 40 = 0,225. Ответ: 0,225.

Задание проверяет тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Площадь прямоугольника равна AB · BC, поэтому AB = 968 ÷ 55 = 17,6. В треугольнике ACD имеем CD = AB = 17,6 и AD = BC = 55. Тогда tg ∠CAD = CD ÷ AD = 17,6 ÷ 55 = 0,32.

Ответ: 0,32.

Проверяется нахождение площади ромба через диагонали. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина диагонали длиной 60 равна 30, поэтому из прямоугольного треугольника с гипотенузой 34 вторая половина диагонали равна √(34² − 30²) = 16.

Вторая диагональ равна 32, и площадь ромба равна 60 · 32 / 2 = 960. Ответ: 960.

Задание проверяет нахождение площадей треугольника и трапеции. По рисунку основания трапеции — AD и BC, а высота треугольника ABC к основанию BC совпадает с высотой трапеции.

Площадь трапеции равна ((AD + BC) · h)/2 = 27, поэтому h = 27 · 2/(6 + 3) = 6. Тогда площадь треугольника ABC равна BC · h/2 = 3 · 6/2 = 9.

Ответ: 9.

Проверяется свойство биссектрисы и сумма углов треугольника. Так как AL — биссектриса, ∠BAL = ∠LAC = x; в треугольнике ALC: x + 140° + ∠ACB = 180°. В треугольнике ABC: 2x + 123° + ∠ACB = 180°. Вычитая первое равенство из второго, получаем x = 17°, поэтому ∠ACB = 23°. Ответ: 23.

Проверяется применение теоремы Фалеса: угол, опирающийся на диаметр, прямой. Поэтому треугольник ABC прямоугольный, а AB — его гипотенуза. По теореме Пифагора AB = √(9² + 12²) = 15, значит радиус равен 15 : 2 = 7,5.

Ответ: 7,5.