Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется применение свойств диагоналей ромба и синуса угла. Диагональ BD делится диагональю AC пополам, а диагонали ромба перпендикулярны, поэтому в прямоугольном треугольнике с гипотенузой AB = 5 половина BD равна √21. Тогда половина AC равна √(5² − (√21)²) = 2. Для угла ABD синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: 2 / 5 = 0,4.

Ответ: 0,4.

Задание проверяет свойство медианы и биссектрисы в треугольнике.

BM — медиана, значит AM = MC; одновременно BM делит угол B пополам. Треугольники ABM и CBM равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB = BC.

В равнобедренном треугольнике с вершиной B медиана к основанию также является высотой и биссектрисой. В прямоугольном треугольнике ABM угол ABM равен 60°, BM = 13 — катет напротив угла 30°, поэтому AB = 2 · 13 = 26. Ответ: 26.

Проверяется связь внешнего и внутреннего углов и соотношения сторон в прямоугольном треугольнике.

Внутренний угол A равен 180° − 120° = 60°, а угол C — 90°. Катет AC = 21 прилежит к углу A. Поэтому cos 60° = AC : AB = 1 : 2, откуда AB = 21 : 0,5 = 42.

Ответ: 42.

Соседние углы ромба в сумме дают 180°, а противоположные углы равны. Поэтому из суммы двух углов 120° следует, что меньший угол равен 60°.

Меньшая диагональ соединяет вершины тупых углов и делит острые углы пополам. В прямоугольном треугольнике половина этой диагонали равна 15, а угол напротив неё равен 30°, поэтому сторона ромба равна 30.

Периметр равен 4 · 30 = 120.

Ответ: 120.

Задание проверяет теорему Пифагора и определение тангенса острого угла.

Гипотенуза — AB, поэтому AC² = AB² − BC² = 29 − 4 = 25, откуда AC = 5.

Тангенс угла A равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg A = BC/AC = 2/5 = 0,4.

Ответ: 0,4.

Задание проверяет площадь ромба. Его диагонали перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половина второй диагонали образует с половиной диагонали 48 и стороной 25 прямоугольный треугольник.

По теореме Пифагора: (48/2)² + (d/2)² = 25², откуда 24² + (d/2)² = 625 и d/2 = 7. Тогда площадь равна 48 · 14 / 2 = 336.

Ответ: 336.

Проверяются свойства внешнего угла и соотношения сторон прямоугольного треугольника. Внутренний угол A смежный с внешним, поэтому ∠A = 180° − 150° = 30°. Катет BC = 15 лежит напротив угла A, а AB — гипотенуза; sin 30° = 1/2, значит AB = 15 ÷ 0,5 = 30.

Ответ: 30.

Проверяется формула площади прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Второй катет равен 2 · 120 / 24 = 10. Гипотенуза равна √(24² + 10²) = √676 = 26.

Ответ: 26.

Задание проверяет формулы площадей трапеции и треугольника.

Основания трапеции AD и BC параллельны, поэтому её площадь S = (AD + BC) · h/2.

Отсюда высота h = 2 · 49/(8 + 6) = 7 ед.

Высота треугольника ABC к основанию BC равна высоте трапеции, поэтому S = 6 · 7/2 = 21 кв. ед.

Ответ: 21.

Задание проверяет свойства вписанного четырёхугольника и вписанных углов. Углы ABD и ACD опираются на одну дугу AD, поэтому ∠ACD = 82°.

В треугольнике ACD: ∠ADC = 180° − 82° − 28° = 70°. Противоположные углы вписанного четырёхугольника дополняют друг друга до 180°, поэтому ∠ABC = 180° − 70° = 110°.

Ответ: 110.

Задание проверяет связь между диагоналями и сторонами параллелограмма.

Для параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон: d₁² + d₂² = 2(a² + b²). При d₁ = d₂ = 29 и a = 20 получаем 2 · 29² = 2(20² + b²), поэтому b² = 29² − 20² = 441. Следовательно, b = 21.

Ответ: 21.

Задание проверяет свойства медианы и биссектрисы в треугольнике. Так как BM — медиана и биссектриса, треугольники ABM и CBM равны по двум сторонам и углу между ними: AM = MC, BM — общая сторона, углы при B равны. Поэтому AB = BC, а BM перпендикулярна AC. В прямоугольном треугольнике ABM угол ABM равен 60°, значит AB = 2·BM = 2·25 = 50.

Ответ: 50.

Ответ: 10. Медиана BM делит сторону AC пополам, а по условию она также делит угол B пополам. По теореме о биссектрисе AB/BC = AM/MC = 1, значит AB = BC. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой и биссектрисой, поэтому половина угла B равна 60°, а угол M равен 90°. В прямоугольном треугольнике ABM сторона AB — гипотенуза, AB = BM/cos 60° = 5/(1/2) = 10.

Проверяется применение свойства вписанного угла, опирающегося на диаметр, и определение косинуса в прямоугольном треугольнике. Радиус равен 12, значит диаметр AB = 24. Так как AB — диаметр, ∠ACB = 90°. Для угла BAC прилежащий катет AC равен 9, а гипотенуза AB равна 24, поэтому cos ∠BAC = AC/AB = 9/24 = 0,375. Ответ: 0,375.

Задание проверяет центральные и вписанные углы в правильном многоугольнике. В правильном десятиугольнике дуга между соседними вершинами равна 360° / 10 = 36°. Угол BCE опирается на дугу BE, не содержащую C: это 7 таких дуг, то есть 252°. Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ∠BCE = 252° / 2 = 126°. Ответ: 126.

Проверяется сумма углов треугольника и свойство равнобедренного треугольника. Внешний угол при B равен 155°, значит внутренний угол B равен 180° − 155° = 25°.

Так как AC = BC, противолежащие им углы B и A равны. Тогда угол C равен 180° − 25° − 25° = 130°.

Ответ: 130.

Задание проверяет свойства ромба и применение теоремы Пифагора.

Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм — ромб.

Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения O делятся пополам, поэтому AO = 42/2 = 21.

В прямоугольном треугольнике AOB получаем BO = √(35² − 21²) = √784 = 28.

Следовательно, BD = 2 · 28 = 56 единиц длины.

Ответ: 56.

Проверяется связь внешнего и внутреннего углов треугольника и теорема Пифагора. Внутренний угол при основании равен 180° − 150° = 30°. Медиана к основанию равнобедренного треугольника также является высотой, поэтому треугольник ABM прямоугольный, а угол A равен 30°. В нём AB — гипотенуза, BM = 55 — противолежащий катет; sin 30° = 55 / AB = 1/2. Следовательно, AB = 110. Ответ: 110.

Ответ: 392. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту: S = ah. Высота образует с боковой стороной прямоугольный треугольник, в котором sin 30° = 14/a. Так как sin 30° = 1/2, сторона ромба a = 28. Тогда S = 28 · 14 = 392.