Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется связь медианы равнобедренного треугольника с его высотой и косинусом угла.

Медиана BM к основанию AC делит его пополам и перпендикулярна ему, поэтому треугольник ABM прямоугольный.

По теореме Пифагора AM² = AB² − BM² = 10² − (2√21)² = 100 − 84 = 16, значит AM = 4.

В прямоугольном треугольнике ABM cos ∠BAC = AM/AB = 4/10 = 0,4.

Ответ: 0,4.

Проверяется тема планиметрии: свойства равнобедренной трапеции и теорема Пифагора. Разность оснований равна 51 − 9 = 42, поэтому проекция каждой боковой стороны на большее основание равна 42 / 2 = 21. Высота трапеции равна √(75² − 21²) = 72. Горизонтальная проекция диагонали равна 21 + 9 = 30, поэтому её длина равна √(72² + 30²) = 78.

Ответ: 78.

Проверяется вычисление диагонали равнобедренной трапеции по её высоте и основаниям. Разность оснований равна 100 − 28 = 72, значит, проекция каждой боковой стороны на большее основание равна 72 / 2 = 36. По теореме Пифагора высота трапеции равна √(60² − 36²) = 48. Горизонтальная проекция диагонали равна 36 + 28 = 64, поэтому её длина равна √(64² + 48²) = 80. Ответ: 80.

Проверяется сумма углов треугольника и соотношения сторон в прямоугольном треугольнике.

Внешний угол при A равен 120°, значит внутренний угол A равен 180° − 120° = 60°.

Поскольку треугольник прямоугольный, прямой угол находится при C, и AB — гипотенуза.

cos 60° = AC/AB, откуда 1/2 = 20/AB и AB = 40.

Ответ: 40.

Задание проверяет связь длины дуги с центральным углом.

Длина дуги пропорциональна её центральному углу. Большей дуге соответствуют 360° − 120° = 240°, поэтому её длина равна 20 · 240/120 = 40.

Ответ: 40.

Задание проверяет синус острого угла и теорему Пифагора. Поскольку ∠C = 90°, сторона AB = 50 — гипотенуза, а sin A = BC/AB = 24/25. Значит, BC = 50 · 24/25 = 48. Тогда AC = √(50² − 48²) = √196 = 14.

Ответ: 14.

Задание проверяет свойства смежных углов и биссектрисы. Так как A, M и B лежат на одной прямой, угол CMB равен 180° − 52° = 128°. Луч MD делит его пополам, поэтому угол DMB равен 128° : 2 = 64°. Ответ: 64.

Площадь ромба равна произведению стороны на высоту. Пусть сторона равна a; тогда a·sin 30° = 6, поэтому a = 6/0,5 = 12. Площадь равна 12·6 = 72.

Ответ: 72.

Задание проверяет свойства прямоугольного треугольника и косинус острого угла. Так как AB — диаметр, угол ACB прямой, а AB = 2 · 6 = 12. По теореме Пифагора BC = √(12² − 9²) = √63 = 3√7. Тогда cos ∠BAC = AC/AB = 9/12 = 0,75.

Ответ: 0,75.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и вычисление его площади.

Проведём высоту BH к основанию AC: она делит основание пополам. В прямоугольном треугольнике ABH получаем BH = AB · sin A = 58 · 20/29 = 40.

По теореме Пифагора AH = √(58² − 40²) = √1764 = 42, поэтому AC = 84.

Площадь S = AC · BH/2 = 84 · 40/2 = 1680 квадратных единиц.

Ответ: 1680.

Задание проверяет свойства параллелограмма и деление отрезка точкой пересечения. Поскольку M — середина BC, медиана AM в треугольнике BCD пересекает BD в точке K. По свойству медианы и средней линии при проведении через M прямой, параллельной BD, получаем, что BK:KD = 1:2.

Следовательно, BK = BD / 3 = 21 / 3 = 7.

Ответ: 7.

Задание проверяет площадь ромба и связь высоты со стороной через синус угла. Высота h равна стороне ромба a, умноженной на синус острого угла: h = a · sin 30° = a/2. Поэтому сторона равна 22 · 2 = 44. Площадь ромба равна a · h = 44 · 22 = 968.

Ответ: 968.

Проверяется тема планиметрии: полный угол и деление его на равные части. Угол вокруг центра колеса равен 360°. Между 40 соседними спицами получаются равные углы, каждый равен 360° / 40 = 9°.

Ответ: 9.

Задание проверяет связь сторон и углов треугольника через теорему синусов. Внутренний угол C равен 180° − 150° = 30°, поэтому sin C = 1/2.

По теореме синусов AB / sin C = BC / sin A, откуда AB = 8 · (1/2) / (1/4) = 16.

Ответ: 16.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и прямоугольного треугольника с углом 30°.

Внутренний угол при основании равен 180° − 150° = 30°.

Медиана BM, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой.

В прямоугольном треугольнике ABM катет BM лежит напротив угла 30° и равен половине гипотенузы AB, поэтому AB = 2 · 25 = 50 единиц длины.

Ответ: 50.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и медианы к основанию. Внутренний угол при основании равен 180° − 150° = 30°, а медиана к основанию является высотой.

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой AB и катетом BM = 18: sin 30° = BM / AB, значит AB = 18 / (1/2) = 36.

Ответ: 36.

Проверяется связь внешнего и внутреннего углов и свойство равнобедренного треугольника. Так как AC = BC, углы при основании равны: ∠A = ∠B. Внутренний угол при B равен 180° − 143° = 37°, значит, ∠A = 37°.

Тогда ∠C = 180° − 37° − 37° = 106°. Ответ: 106.

Проверяются свойства прямоугольника и теорема Пифагора. Вторая сторона равна √(34² − 16²) = √900 = 30. Площадь прямоугольника: 16 · 30 = 480.

Ответ: 480.

Разность оснований равна 8 − 4 = 4. В равнобедренной трапеции эта разность поровну приходится на оба боковых выступа, каждый равен 4 : 2 = 2. Тангенс острого угла — отношение высоты к прилежащему выступу: 5 : 2 = 2,5. Ответ: 2,5.

Задание проверяет внешний угол треугольника и тригонометрию прямоугольного треугольника. Внутренний угол A равен 180° − 120° = 60°, а прямой угол находится при C. Значит, угол B равен 30°. Катет AC лежит напротив угла 30°, поэтому он равен половине гипотенузы AB: AB = 2 · 16 = 32.

Ответ: 32.