Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
В треугольнике проведена биссектриса угол равен угол равен Найдите величину угла Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет сумму углов треугольника, смежные углы и свойство биссектрисы. Так как B, L и C лежат на одной прямой, ∠ALB = 180° − 112° = 68°. В треугольнике ABL угол BAL = 180° − 106° − 68° = 6°.
AL делит угол A пополам, поэтому ∠A = 12°. Тогда ∠ACB = 180° − 106° − 12° = 62°. Ответ: 62.
В ромбе диагональ , площадь ромба равна 125. Найдите тангенс угла .
Задание проверяет площадь ромба и тригонометрию прямоугольного треугольника. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам, поэтому половина AC равна 12,5. Из формулы площади S = AC · BD / 2 получаем BD = 2 · 125 / 25 = 10, значит половина BD равна 5. В прямоугольном треугольнике с катетами 12,5 и 5 тангенс угла BAC равен 5 / 12,5 = 0,4.
Ответ: 0,4.
Основания равнобедренной трапеции равны 21 и 57, боковая сторона равна 82. Найдите длину диагонали трапеции.
Проверяется свойство равнобедренной трапеции и теорема Пифагора. Половина разности оснований равна (57 − 21) / 2 = 18, поэтому высота равна √(82² − 18²) = 80. Горизонтальная проекция диагонали равна (57 + 21) / 2 = 39, значит, диагональ равна √(80² + 39²) = 89. Ответ: 89.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
В параллелограмме диагональ в два раза больше стороны
и . Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Сумма двух углов ромба равна а его меньшая диагональ равна 12. Найдите периметр ромба.
Задание проверяет свойства углов и диагоналей ромба. Соседние углы ромба в сумме дают 180°, а противоположные равны; поэтому сумма 240° — это два тупых угла по 120°. Меньшая диагональ, соединяющая вершины с тупыми углами, равна стороне ромба: она делит ромб на равносторонние треугольники. Следовательно, сторона равна 12, а периметр равен 4 · 12 = 48.
Ответ: 48.
| В треугольнике известно, что , , . Найдите длину стороны . |
|
Задание проверяет применение тангенса угла прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора. Так как AB = BC, высота из вершины B к основанию AC делит его пополам: каждая часть равна 5.
Для угла BAC тангенс равен отношению высоты к 5, поэтому высота равна 5 · √11/5 = √11. Тогда AB² = 5² + (√11)² = 36, значит AB = 6.
Ответ: 6.
Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 18, 7 и 11. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.
Задание проверяет связь периметров прямоугольников, полученных разрезами. Обозначим ширины столбцов через a и b, а высоты рядов через c и d. Для трёх указанных прямоугольников имеем: 2(a + c) = 18, 2(b + c) = 7 и 2(b + d) = 11. Периметр четвёртого равен 2(a + d) = 18 + 11 − 7 = 22.
Ответ: 22.
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 5, 10 и 18. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.
Проверяется связь площадей прямоугольников, образованных двумя разрезами. Пусть ширины левого и правого столбцов равны x и y, а высоты верхней и нижней строк — a и b. Тогда площади по часовой стрелке: xa = 5, ya = 10, yb = 18, а четвёртая площадь равна xb. Из произведений xa · yb = ya · xb следует xb = 5 · 18 / 10 = 9.
Ответ: 9.
| Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна а один из катетов равен 2. |
|
Задание проверяет теорему Пифагора и формулу площади прямоугольного треугольника.
По теореме Пифагора квадрат второго катета равен (√13)² − 2² = 13 − 4 = 9, значит, второй катет равен 3.
Площадь равна половине произведения катетов: S = 2 · 3 / 2 = 3.
Ответ: 3
В прямоугольном треугольнике угол равен , . Гипотенуза . Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике и формулу площади. Так как cos B = BC/AB = 60/61, получаем BC = 122 · 60/61 = 120. По теореме Пифагора второй катет AC = √(122² − 120²) = 22. Площадь равна AC · BC/2 = 22 · 120/2 = 1320.
Ответ: 1320.
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна длины окружности. Ответ дайте в градусах.
Задание проверяет связь вписанного угла с дугой, на которую он опирается.
Полной окружности соответствует 360°, поэтому градусная мера данной дуги равна 360° · 5/18 = 100°.
Вписанный угол равен половине градусной меры этой дуги: 100°/2 = 50°.
Ответ: 50.
В треугольнике известно, что , . Найдите синус угла .
Проверяется синус угла в равнобедренном треугольнике. Высота из вершины B делит основание AC пополам: получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой 20 и катетом 16. Второй катет равен √(20² − 16²) = 12, поэтому sin ∠BAC = 12/20 = 0,6.
Ответ: 0,6.
В равнобедренном треугольнике высота , проведённая к основанию, равна 3, а . Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет связь тангенса угла с отношением катетов и формулу площади треугольника. Высота BM делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника, а AM — прилежащий к углу A катет. По определению тангенса, tg A = BM/AM, значит AM = 3/0,75 = 4. Основание AC = 2 · AM = 8, поэтому площадь равна AC · BM/2 = 8 · 3/2 = 12.
Ответ: 12.
В треугольнике угол равен , . Площадь треугольника равна 20. Найдите .
Задание проверяет формулу площади прямоугольного треугольника и определение тангенса.
Катеты AC и BC перпендикулярны, поэтому S = AC · BC/2.
Отсюда AC = 2S/BC = 2 · 20/4 = 10 ед.
Для угла B противолежащий катет — AC, а прилежащий — BC, поэтому tg B = AC/BC = 10/4 = 2,5.
Ответ: 2,5.
Сумма двух углов ромба равна а его меньшая диагональ равна 22. Найдите периметр ромба.
Задание проверяет свойства углов и диагоналей ромба.
Соседние углы ромба в сумме дают 180°, поэтому углы с суммой 120° — противоположные, каждый равен 60°.
Меньшая диагональ соединяет вершины тупых углов и отсекает треугольник с двумя равными сторонами ромба и углом 60° между ними.
Этот треугольник равносторонний, поэтому сторона ромба равна меньшей диагонали: 22.
Периметр равен P = 4 · 22 = 88.
Ответ: 88.
В прямоугольнике сторона равна 12, . Найдите площадь прямоугольника.
Задание проверяет вычисление площади прямоугольника с помощью тангенса острого угла.
В прямоугольном треугольнике ACD тангенс угла CAD равен CD/AD, причём CD = AB = 12 ед.
Поэтому AD = 12/0,15 = 80 ед.
Площадь прямоугольника S = AB · AD = 12 · 80 = 960 кв. ед.
Ответ: 960.
В равнобедренном треугольнике медиана , проведённая к основанию, равна 12, а . Найдите длину боковой стороны треугольника .
Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника, определение тангенса и теорему Пифагора.
Медиана BM, проведённая к основанию, является высотой, поэтому треугольник ABM прямоугольный.
По определению тангенса tg A = BM/AM = 12/5, откуда AM = 5 ед.
Боковая сторона AB = √(AM² + BM²) = √(5² + 12²) = √169 = 13 ед.
Ответ: 13.
Сторона ромба 15, одна из диагоналей равна 18. Найдите площадь ромба.
Проверяется применение теоремы Пифагора и формулы площади ромба через диагонали. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половина второй диагонали равна √(15² − 9²) = 12. Вторая диагональ равна 24, и площадь ромба равна 18 · 24 / 2 = 216.
Ответ: 216.
В равнобедренном треугольнике основание , высота , проведённая к основанию, равна 9. Точка середина стороны . Найдите длину отрезка .
Задание проверяет свойства равнобедренного и прямоугольного треугольников. Высота BK делит основание пополам, поэтому KC = 24/2 = 12. По теореме Пифагора BC = √(9² + 12²) = √225 = 15. Медиана KP прямоугольного треугольника BKC равна половине гипотенузы: KP = 15/2 = 7,5 единицы длины. Ответ: 7,5.
| Одна из диагоналей ромба равна 14, а его площадь равна 336. Найдите сторону ромба |
|
Проверяются формула площади ромба через диагонали и теорема Пифагора. Вторая диагональ равна 2 · 336 / 14 = 48. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам, поэтому половины диагоналей равны 7 и 24. Сторона ромба — гипотенуза прямоугольного треугольника с этими катетами: √(7² + 24²) = 25. Ответ: 25.
