Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется свойство диагоналей параллелограмма: сумма их квадратов равна удвоенной сумме квадратов сторон. Пусть другая сторона равна x; тогда 5² + 5² = 2 · (3² + x²), откуда x² = 16 и x = 4.

Ответ: 4.

Проверяется синус угла в прямоугольном треугольнике: это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Гипотенуза AB = 15, а противолежащий углу A катет BC находим по теореме Пифагора: BC = √(15² − 9²) = 12. Тогда sin A = BC / AB = 12 / 15 = 0,8.

Ответ: 0,8.

Задание проверяет площадь прямоугольника и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. Для угла CAD: tg∠CAD = CD/AD = AB/AD = 0,3, поэтому AD = 9/0,3 = 30. Площадь прямоугольника равна AB · AD = 9 · 30 = 270.

Ответ: 270.

Проверяется: тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Вторая сторона прямоугольника равна 160 : 4 = 40. В треугольнике ACD тангенс угла CAD равен отношению противолежащего катета CD к прилежащему AD: 4 : 40 = 0,1.

Ответ: 0,1.

Задание проверяет тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике и формулу площади. Высота BM делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника, поэтому AM = MC. По определению тангенса tg A = BM/AM, откуда AM = 26/1,3 = 20.

Основание AC = 2·20 = 40, поэтому площадь равна AC·BM/2 = 40·26/2 = 520.

Ответ: 520.

Задание проверяет свойства внешнего угла треугольника и применение теоремы синусов.

Внутренний угол при вершине C равен 180° − 150° = 30°, поэтому sin C = 1/2.

По теореме синусов AB/sin C = BC/sin A.

Следовательно, AB = 16 · (1/2)/(2/5) = 20 ед.

Ответ: 20.

Проверяется длина биссектрисы в равнобедренном треугольнике. Внутренние углы при A и C равны 180° − 150° = 30°, поэтому AB = BC: против равных углов лежат равные стороны. В треугольнике ABK угол B равен 60°, а угол K — 90°, значит BK = AB · sin 30° = 72 · 1/2 = 36.

Ответ: 36.

Задание проверяет площадь треугольника и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Высота BM к основанию AC в равнобедренном треугольнике делит основание пополам, а tg A = BM/AM = 1,5. Значит, AM = 9/1,5 = 6 и AC = 12. Площадь равна AC · BM/2 = 12 · 9/2 = 54.

Ответ: 54.

Проверяется площадь трапеции и нахождение её высоты по боковой стороне и углу. Высота равна 2 · sin 150° = 1. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = (7 + 13) / 2 · 1 = 10.

Ответ: 10.

Проверяется свойство медианы в равнобедренном треугольнике и теорема Пифагора. Медиана BM делит основание AC пополам: AM = 114/2 = 57. В прямоугольном треугольнике ABM получаем BM² = 95² − 57² = 5776, поэтому BM = 76.

Ответ: 76

Проверяется связь между дугой и вписанным углом. Дуга длиной 1/18 окружности соответствует центральному углу 360° : 18 = 20°. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, вдвое меньше: 20° : 2 = 10°.

Ответ: 10.

Проверяется тема планиметрии: свойства равнобедренного треугольника и прямоугольный треугольник. Внешний угол при основании равен 150°, поэтому внутренний угол при основании равен 180° − 150° = 30°. Медиана к основанию равнобедренного треугольника также является высотой и делит его на два прямоугольных треугольника. Боковая сторона равна 19 / sin 30° = 38.

Ответ: 38.

Проверяется связь площади параллелограмма с основанием и высотой. Площадь, вычисленная по меньшей стороне, равна 22 · 33 = 726. Для большей стороны 44 высота равна 726 / 44 = 16,5.

Ответ: 16,5.

Задание проверяет отношение площадей треугольников с общей высотой. Так как BM — медиана, AM = AB/2, а по условию AK = AB/7. Поэтому площадь AMK составляет (AM/AB) · (AK/AB) = 1/14 площади ABC. Искомая площадь равна 2 · 14 = 28.

Ответ: 28.

Задание проверяет свойства диагоналей ромба и формулу его площади.

Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому половина известной диагонали равна 20.

Сторона ромба — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами, равными половинам диагоналей: половина второй диагонали равна √(25² − 20²) = 15.

Вторая диагональ равна 30, поэтому площадь S = 40 · 30/2 = 600 квадратных единиц.

Ответ: 600.

Задание проверяет свойства биссектрисы и смежных углов.

Биссектриса MD делит угол CMB пополам, поэтому ∠CMB = 2 · 78° = 156°.

Лучи MA и MB противоположны, поэтому углы CMA и CMB в сумме составляют 180°.

Следовательно, ∠CMA = 180° − 156° = 24°.

Ответ: 24.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и отрезка, соединяющего середины двух сторон. Медиана BK к основанию равнобедренного треугольника является высотой, поэтому треугольник BKC прямоугольный.

По теореме Пифагора KC = √(29² − 20²) = √441 = 21. Так как K — середина основания, AC = 2 · 21 = 42.

MN соединяет середины боковых сторон, поэтому это средняя линия: MN = AC / 2 = 21.

Ответ: 21.

Проверяется тема планиметрии: диагонали параллелограмма и его площадь. Диагонали равны, значит параллелограмм — прямоугольник. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 15 и катетом 12 второй катет равен √(15² − 12²) = 9. Площадь равна 12 · 9 = 108.

Ответ: 108.

Задание проверяет свойства медианы и отношение площадей треугольников с общей высотой.

У треугольников AMK и AMB общая высота к прямой AB, поэтому S(AMK)/S(AMB) = AK/AB = 1/3.

Следовательно, S(AMB) = 3 · 5 = 15 кв. ед.

Медиана BM делит сторону AC пополам, поэтому треугольники ABM и CBM имеют равные основания и общую высоту к AC, а значит, равные площади.

Тогда S(ABC) = 2 · 15 = 30 кв. ед.

Ответ: 30.