Планиметрия · 1288 заданий ФИПИ с ответами
На окружности отмечена точка Отрезок диаметр окружности, Найдите радиус окружности.
Проверяется тема «Планиметрия»: свойства прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Так как AB — диаметр, угол ACB прямой. Тогда AB² = AC² + BC² = 8² + 15² = 289, поэтому AB = 17.
Радиус равен половине диаметра: 17/2 = 8,5.
Ответ: 8,5.
В параллелограмме диагональ в два раза больше стороны и . Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
В параллелограмме диагонали перпендикулярны. Сумма углов и равна , . Найдите .
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
В угол с вершиной , равный , вписана окружность
с центром , которая касается сторон угла в точках и . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Проверяется свойство центра вписанной окружности: он лежит на биссектрисе угла. Радиусы к точкам касания перпендикулярны сторонам, поэтому в четырёхугольнике CAOB углы при A и B прямые. Тогда ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 19° = 161°.
Ответ: 161.
| Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна а один из катетов равен 1. |
|
Задание проверяет вычисление площади прямоугольного треугольника по его катетам. По теореме Пифагора второй катет равен √(17 − 1²) = 4. Площадь равна половине произведения катетов: 1 · 4 / 2 = 2. Ответ: 2.
В параллелограмме диагональ в два раза больше стороны и . Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Катет прямоугольного треугольника равен 24, одна из средних линий равна 3,5. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Проверяется свойство средней линии треугольника и теорема Пифагора. Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна; значит, один из катетов равен 2 · 3,5 = 7. Второй катет равен 24, поэтому гипотенуза равна √(24² + 7²) = √625 = 25.
Ответ: 25.
| В прямоугольной трапеции с основаниями и угол прямой, , (см. рисунок). Найдите среднюю линию трапеции. |
|
Основания трапеции равны 9 и 19, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол . Найдите площадь трапеции.
Задание проверяет нахождение высоты и площади трапеции.
Острый угол между боковой стороной и прямой основания равен 180° − 150° = 30°.
Высота является катетом прямоугольного треугольника напротив угла 30°, поэтому h = 8 / 2 = 4 единицы длины.
Площадь трапеции S = (a + b) · h / 2 = (9 + 19) · 4 / 2 = 56 квадратных единиц.
Ответ: 56.
Обе диагонали параллелограмма равны 25. Одна из сторон параллелограмма равна 7. Найдите другую сторону параллелограмма.
Проверяется свойство диагоналей параллелограмма: сумма их квадратов равна удвоенной сумме квадратов сторон.
Пусть другая сторона равна x. Тогда 25² + 25² = 2(7² + x²).
Получаем x² = 625 − 49 = 576, откуда x = 24, поскольку длина положительна. Ответ: 24.
В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, , . Найдите .
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм — ромб, а его диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Обозначим их точку пересечения через O: AO = AC / 2 = 10, а ∠AOB = 90°. По теореме Пифагора BO = √(AB² − AO²) = √(26² − 10²) = 24. Значит, BD = 2 · BO = 48.
Ответ: 48.
| В выпуклом четырёхугольнике известно, что Найдите |
|
Равенство AB = BC означает, что треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. Поэтому ∠BAC = ∠BCA = (180° − 61°)/2 = 59,5°. Равенство AD = CD означает, что треугольник ADC равнобедренный с основанием AC; значит, ∠CAD = ∠ACD = (180° − 151°)/2 = 14,5°. Угол A четырёхугольника равен ∠BAC + ∠CAD = 59,5° + 14,5° = 74°.
Ответ: 74.
| В треугольнике угол равен , , . Найдите . |
|
Проверяется синус острого угла в прямоугольном треугольнике. AB — гипотенуза, поэтому sin A = BC / AB. По теореме Пифагора BC² = AB² − AC² = 16 − 12 = 4, значит, BC = 2. Тогда sin A = 2 / 4 = 0,5.
Ответ: 0,5.
Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 42, боковая сторона равна 39. Найдите длину диагонали трапеции.
Проверяется применение теоремы Пифагора. В равнобедренной трапеции разность оснований делится поровну: горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна (42 − 12) / 2 = 15.
Высота трапеции равна √(39² − 15²) = 36. Горизонтальная проекция диагонали равна 42 − 15 = 27, поэтому диагональ равна √(27² + 36²) = 45.
Ответ: 45.
В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 12. Гипотенуза равна 15. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.
Задание проверяет теорему Пифагора и свойство средней линии треугольника. Второй катет равен √(15² − 12²) = √81 = 9. Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна; наименьшая сторона — катет 9, значит наименьшая средняя линия равна 9 : 2 = 4,5.
Ответ: 4,5.
В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 30. Гипотенуза равна 34. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.
В прямоугольном треугольнике второй катет найдём по теореме Пифагора: √(34² − 30²) = √256 = 16.
Наименьшая средняя линия соединяет середины наименьших сторон, поэтому её длина равна половине меньшего катета: 16 : 2 = 8.
Ответ: 8.
| В треугольнике угол равен Найдите длину стороны |
|
Проверяется применение определения косинуса в прямоугольном треугольнике. Поскольку cos A = AC/AB = 0,6, получаем AC = 20 · 0,6 = 12. По теореме Пифагора BC = √(AB² − AC²) = √(400 − 144) = 16. Ответ: 16.
В треугольнике известно, что Найдите длину медианы
Задание проверяет свойства медианы и вычисление длины отрезка. Так как AB = BC, треугольник равнобедренный с основанием AC, поэтому медиана BM делит основание пополам: AM = 40 / 2 = 20. В прямоугольном треугольнике ABM по теореме Пифагора BM = √(25² − 20²) = 15. Ответ: 15.
В трапеции известно, что , , а её площадь равна 22. Найдите площадь треугольника .
Задание проверяет площади трапеции и треугольника. По рисунку основания трапеции — AD = 6 и BC = 5, а диагональ AC делит её на треугольник ABC и треугольник ACD.
У этих треугольников общая высота, поэтому их площади относятся как основания BC:AD = 5:6. Площадь ABC составляет 5/(5 + 6) от площади трапеции: 22 · 5/11 = 10.
Ответ: 10.
| В треугольнике угол равен , , . Найдите . |
|
Задание проверяет синус угла в прямоугольном треугольнике. По теореме Пифагора BC = √(75² − 21²) = √5184 = 72. Синус A равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: sin A = BC : AB = 72 : 75 = 0,96. Ответ: 0,96.
