Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется связь внешнего и внутреннего углов и тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике. Внутренний угол A равен 180° − 120° = 60°, а угол C прямой, значит угол B равен 30°.

Катет AC лежит напротив угла 30°, поэтому он равен половине гипотенузы. Следовательно, AB = 2 × 50 = 100.

Ответ: 100.

Задание проверяет тангенс острого угла прямоугольного треугольника и площадь. Высота BM делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных; в треугольнике ABM tg A = BM/AM.

Отсюда AM = 3/0,6 = 5, а основание AC = 2 · 5 = 10. Площадь ABC равна AC · BM/2 = 10 · 3/2 = 15.

Ответ: 15.

Проверяется тема «Планиметрия»: свойства параллелограмма и его диагоналей. Если диагонали являются биссектрисами углов параллелограмма, он является ромбом, поэтому его стороны равны: AB = BC = 45.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половина диагонали AC равна 36, а половина BD — половине искомого отрезка. По теореме Пифагора: (BD/2)² + 36² = 45², откуда BD/2 = 27.

Ответ: 54.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и теорему Пифагора. Медиана к основанию делит AC пополам, поэтому AM = 8 : 2 = 4. Тогда BM² = 5² − 4² = 9, откуда BM = 3.

Ответ: 3.

Задание проверяет тангенс угла в прямоугольном треугольнике и площадь прямоугольника. В треугольнике ACD: tg∠CAD = CD / AD = AB / 60 = 5 / 24, откуда AB = 60 · 5 / 24 = 12,5. Площадь прямоугольника равна 60 · 12,5 = 750. Ответ: 750.

Проверяется применение свойств медианы и теоремы Пифагора в равнобедренном треугольнике. Медиана к основанию делит его пополам: AM = 128 / 2 = 64. Тогда BM = √(80² − 64²) = √2304 = 48.

Ответ: 48.

Задание проверяет связь длины дуги с её градусной мерой: длины дуг одной окружности относятся так же, как их градусные меры. Большая дуга соответствует 360° − 10° = 350°. Её длина равна 20 · 350 / 10 = 700. Ответ: 700.

Задание проверяет свойства диагоналей ромба и синус угла в прямоугольном треугольнике. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому половины диагоналей равны √21 и 2. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой AB сторона BC равна √(21 + 4) = 5, значит sin ∠BAC = BC / AB = 2 / 5 = 0,4.

Ответ: 0,4.

Задание проверяет отношения площадей треугольников с общей высотой. Так как BM — медиана, точка M — середина AC, поэтому треугольники ABM и ABC имеют равные площади. У треугольников AMK и ABM общая высота к AB, а AK = AB/6, значит S(AMK) = S(ABM)/6. Тогда S(ABM) = 6 · 3 = 18 и S(ABC) = 2 · 18 = 36. Ответ: 36.

Задание проверяет свойства средней линии и теорему Пифагора.

Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Она не может быть параллельна катету 12: тогда этот катет равнялся бы 5, что невозможно. Значит, другой катет равен 2 · 2,5 = 5.

По теореме Пифагора гипотенуза равна √(12² + 5²) = √169 = 13.

Ответ: 13.

Проверяется применение тригонометрии в прямоугольном треугольнике. Внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°. Так как AB — гипотенуза длиной 50, катет BC, лежащий напротив угла A, равен 50 · sin 30° = 25.

Ответ: 25.

Задание проверяет свойства ромба и синус угла. Диагональ AC делит ромб на равные треугольники, поэтому в треугольнике ABC стороны AB и BC равны 5.

По теореме косинусов для угла BAC: cos ∠BAC = (5² + (√19)² − 5²) : (2 · 5 · √19) = √19 : 10.

Тогда sin ∠BAC = √(1 − cos² ∠BAC) = √(1 − 19 : 100) = 9 : 10 = 0,9.

Ответ: 0,9.

Проверяются теорема Пифагора и понятие средней линии треугольника. Второй катет равен √(30² − 24²) = √324 = 18.

Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Наименьшая средняя линия соответствует наименьшей стороне: это половина меньшего катета, 18 / 2 = 9.

Ответ: 9.

Проверяется синус угла в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю прямоугольника. Вторую сторону прямоугольника находим по площади: AB = 168 / 7 = 24. Диагональ AC = √(24² + 7²) = 25, поэтому sin(CAB) = BC / AC = 7 / 25 = 0,28. Ответ: 0,28.

Задание проверяет свойства параллелограмма и теорему Пифагора. Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, он является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому сторона равна √(40² + 42²) = 58. Периметр равен 4 · 58 = 232.

Ответ: 232.

Задание проверяет применение теоремы Пифагора и формулы площади прямоугольного треугольника.

Обозначим второй катет через b: b² = (√41)² − 4² = 41 − 16 = 25, поэтому b = 5.

Площадь равна половине произведения катетов: S = 4 · 5 / 2 = 10 квадратных единиц.

Ответ: 10.

Задание проверяет деление полного угла вокруг точки на равные части. Полный угол равен 360°, а между 15 соседними спицами получаются 15 равных углов. Поэтому 360°/15 = 24°. Ответ: 24.

Задание проверяет свойства параллелограмма и его диагоналей.

Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами углов, то этот параллелограмм — ромб, поэтому все его стороны равны и AB = BC = 34. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а AC = 60; высота к основанию AC делит его пополам, получая отрезки по 30. По теореме Пифагора половина диагонали BD равна √(34² − 30²) = 16, значит, BD = 32.

Ответ: 32.

Проверяется соотношение сторон в прямоугольном треугольнике. Внешний угол при A равен 150°, поэтому внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°. Катет BC = 18 лежит напротив угла 30°, а такой катет равен половине гипотенузы: AB = 2 · 18 = 36. Ответ: 36.

Проверяется связь внешнего и внутреннего углов и тригонометрия прямоугольного треугольника. Внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°. Гипотенуза AB = 12, а катет BC лежит напротив угла A, поэтому BC = AB · sin 30° = 12 · 1/2 = 6.

Ответ: 6.