Задание 12 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется свойство вписанного в окружность треугольника: если одна его сторона — диаметр, то треугольник прямоугольный.

Диаметр AB равен 6, поэтому по теореме Пифагора BC² = AB² − AC² = 36 − 27 = 9. Значит, BC = 3.

Ответ: 3.

Задание проверяет свойства высоты равнобедренного треугольника и средней линии. Высота BK, проведённая к основанию, делит его пополам, поэтому KC = 48/2 = 24. Точка P — середина BC, а K — середина AC; значит, отрезок KP — средняя линия треугольника ABC и равен половине AB. По теореме Пифагора AB = √(24² + 7²) = 25, поэтому KP = 25/2 = 12,5. Ответ: 12,5.

Задание проверяет свойства вписанной окружности и биссектрисы угла. Радиусы к точкам касания перпендикулярны сторонам угла, поэтому в четырёхугольнике CAOB два угла прямые. Тогда ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 65° = 115°. Ответ: 115.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и угла, опирающегося на диаметр. Треугольник COB равнобедренный, так как CO = OB, поэтому его углы при C и B равны (180° − 120°)/2 = 30°. Так как A, O и B лежат на одной прямой, угол AOC равен 60°. В равнобедренном треугольнике AOC (OA = OC) хорда AC = 27 лежит напротив угла 60°, поэтому треугольник равносторонний и диаметр AB = 2 · 27 = 54. Ответ: 54.

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними: S = AB · BC · sin B / 2.

Так как треугольник равнобедренный с боковыми сторонами 75, то AB = BC = 75, а углы при основании равны.

Следовательно, угол B = 180° − 2A, поэтому sin B = sin(2A) = 2 sin A cos A.

Из sin A = 24/25 получаем cos A = 7/25, значит sin B = 336/625.

S = 75 · 75 · 336/625 / 2 = 1512.

Ответ: 1512.

Проверяется использование внешнего угла и тригонометрического отношения в прямоугольном треугольнике.

Внутренний угол A равен 180° − 120° = 60°. Так как угол C прямой, угол B равен 30°. Катет AC лежит напротив угла 30°, поэтому он равен половине гипотенузы: AB = 2 · 23 = 46.

Ответ: 46.

Задание проверяет углы прямоугольного треугольника и соотношение катета с гипотенузой. Внутренний угол A равен 180° − 150° = 30°, а BC = 22 — катет напротив него. В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы, поэтому AB = 2 · 22 = 44. Ответ: 44.

Проверяется сравнение площадей треугольников с общей высотой и использование свойства медианы. Так как BM — медиана, AM = MC, поэтому площадь ABM равна половине площади ABC. Точка K лежит на AB и AK = AB / 5, значит площадь AMK составляет 1/5 площади ABM. Тогда площадь ABC равна 5 · 5 · 2 = 50.

Ответ: 50.

Внешний угол при A равен 120°, поэтому внутренний угол A равен 180° − 120° = 60°.

Угол C прямой, значит угол B равен 30°. Катет AC лежит напротив угла 30°, а в прямоугольном треугольнике он равен половине гипотенузы.

AB = 2 · 18 = 36.

Ответ: 36.

Задание проверяет применение тригонометрических отношений в прямоугольном треугольнике. Углы A и B в треугольнике ABC в сумме дают 90°, поэтому cos B = sin A = 0,25. В прямоугольном треугольнике BCH гипотенуза — BC, а прилежащий к углу B катет — BH, значит cos B = BH/BC. Отсюда BH = BC · cos B = 16 · 0,25 = 4 единицы длины. Ответ: 4.

Задание проверяет соотношение сторон и диагоналей параллелограмма. По закону параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: 17² + 17² = 2 · (8² + x²). Отсюда 578 = 128 + 2x², значит x² = 225 и x = 15, поскольку длина стороны положительна.

Ответ: 15.

Задание проверяет связь длины дуги с градусной мерой центрального угла и свойство вписанного угла. Дуга длиной 2/9 окружности составляет 2/9 от 360°, то есть 80°. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине её градусной меры: 80° / 2 = 40°.

Ответ: 40.

Задание проверяет свойства равнобедренного треугольника и формулу площади. Медиана к основанию также является высотой, поэтому половина треугольника имеет катеты 5 и AM.

Площадь равна 2 · (5 · AM / 2) = 10√6, откуда AM = 2√6. По теореме Пифагора AB = √(5² + (2√6)²) = 7.

Ответ: 7.

Задание проверяет применение теоремы Пифагора и определения косинуса в прямоугольном треугольнике. Сторона AB — гипотенуза, поэтому BC = √(AB² − AC²) = √(400 − 76) = 18. Косинус угла B равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: cos B = BC/AB = 18/20 = 0,9. Ответ: 0,9.

Задание проверяет свойства параллелограмма и ромба. Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, он является ромбом, а его диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Половина диагонали AC равна 11, а половина BD вместе с ней и стороной AB образует прямоугольный треугольник. Тогда (BD/2)² = 61² − 11² = 3600, откуда BD/2 = 60 и BD = 120. Ответ: 120.

Задание проверяет применение теоремы Пифагора и определения синуса в прямоугольном треугольнике. Гипотенуза — AB, поэтому BC = √(AB² − AC²) = √(25 − 21) = 2. Синус угла A равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: sin A = BC/AB = 2/5 = 0,4. Ответ: 0,4.

Задание проверяет прямоугольный треугольник и теорему Пифагора. Разность оснований равна 7 − 4 = 3. Угол 135° означает, что острый угол у наклонной боковой стороны равен 45°, поэтому образованный с разностью оснований прямоугольный треугольник равнобедренный: его высота равна 3. Вторая боковая сторона — высота трапеции, она короче наклонной стороны. Ответ: 3.

Задание проверяет свойства вписанных углов и прямоугольный треугольник, опирающийся на диаметр. Так как AB — диаметр, угол ADB равен 90°. В треугольнике ADB угол DAB равен 180° − 90° − 29° = 61°. Углы DAB и DCB опираются на одну хорду DB и лежат по разные стороны от неё, поэтому они равны. Ответ: 61°.

Проверяется знание площади ромба: она равна произведению стороны на высоту.

Высота образует со стороной угол 60°, поэтому 19 = a · sin 30° = a/2, откуда сторона a = 38.

Площадь ромба равна 38 · 19 = 722.

Ответ: 722.

Задание проверяет тригонометрию в прямоугольном треугольнике и его площадь. Так как угол C прямой, cos B = BC/AB, поэтому BC = 0,96 · 50 = 48. По теореме Пифагора AC = √(50² − 48²) = 14. Площадь равна BC · AC / 2 = 48 · 14 / 2 = 336.

Ответ: 336.