Задание 16 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется связь синуса и косинуса острого угла: sin² α + cos² α = 1. Так как α острый, cos α положителен. Поэтому cos α = √(1 − (√19/10)²) = √(1 − 19/100) = √(81/100) = 0,9.

Ответ: 0,9.

Проверяется: вычисление выражений со степенями.

4⁹ / 64² = (2²)⁹ / (2⁶)² = 2¹⁸ / 2¹² = 2⁶ = 64.

Ответ: 64.

Возводя степень в степень, показатели перемножают: (7³)⁻² = 7⁻⁶. Тогда 7⁻⁴ / 7⁻⁶ = 7² = 49.

Ответ: 49.

Проверяется: преобразование выражений с арифметическими квадратными корнями.

Используем формулу разности квадратов: (√17 − √3)(√17 + √3) = (√17)² − (√3)² = 17 − 3 = 14.

Ответ: 14.

Задание проверяет свойство логарифма произведения: log₆ a + log₆ b = log₆(ab). Получаем log₆(1,5) + log₆(24) = log₆(1,5 · 24) = log₆ 36 = 2, так как 6² = 36.

Ответ: 2.

Проверяется: вычисление степеней и деление степеней с одинаковым показателем.

49³ / 7³ = (49 / 7)³ = 7³ = 343.

Ответ: 343.

Проверяется тема значения выражения: упрощение с помощью формулы разности квадратов.

Используем (a − b)(a + b) = a² − b²: (4√14 − 4)(4√14 + 4) = (4√14)² − 4² = 16 · 14 − 16 = 208.

Ответ: 208.

Задание проверяет определение логарифма: logₐ b = c, если aᶜ = b.

Здесь основание — ∛5, поэтому (∛5)³ = 5. Значит, log∛5 5 = 3.

Ответ: 3.

Проверяется применение свойств степени с целым показателем.

10² / 10⁻¹ = 10³, поэтому (0,9 · 10²) / (3 · 10⁻¹) = (0,9 / 3) · 10³ = 0,3 · 1000 = 300.

Ответ: 300.

Задание проверяет преобразование тригонометрических выражений. Так как 405° = 360° + 45°, cos 405° = cos 45° = √2/2. Тогда 57√2 · √2/2 = 57.

Ответ: 57.

Проверяется сложение чисел, записанных с помощью степени десяти.

5,9 · 10³ = 5900, а 2,7 · 10² = 270. Тогда 5900 + 270 = 6170.

Ответ: 6170.

Задание проверяет связь логарифма и степени: a^(logₐ b) = b при a > 0 и a ≠ 1. Поэтому 4^(2·log₄ 6) = (4^(log₄ 6))² = 6² = 36.

Ответ: 36.

Проверяется тема «Значение выражения»: степень с логарифмом в показателе.

По свойству логарифма: 4log₃5 = log₃(5⁴), поэтому 3^4log₃5 = 3^log₃(5⁴) = 5⁴ = 625.

Ответ: 625.

Задание проверяет периодичность тангенса: tg(α + 180°) = tg α. Так как 765° = 45° + 4 · 180°, tg 765° = tg 45° = 1. Следовательно, −17 · tg 765° = −17 · 1 = −17.

Ответ: −17.

Задание проверяет преобразование выражений с квадратными корнями. Используем √216 = √(36 · 6) = 6√6. Тогда 9√216 / √6 = 9 · 6 = 54.

Ответ: 54.

Ответ: 16.

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: 4⁻¹⁰ / (4⁴)⁻³ = 4^{−10−(4·(−3))} = 4² = 16.

Задание проверяет упрощение квадратных корней. В числителе 8√80 = 8√(16 · 5) = 32√5. Делим на √5: 32√5 / √5 = 32.

Ответ: 32

Номер проверяет свойства степеней с целыми показателями. В знаменателе 6⁶ · 6⁻³ = 6³, поэтому всё выражение равно 6⁵ / 6³ = 6². Ответ: 36.

Используем свойство: log₁₅a + log₁₅b = log₁₅(ab). Тогда log₁₅5 + log₁₅45 = log₁₅(5 · 45) = log₁₅225.

Поскольку 225 = 15², получаем log₁₅225 = 2.

Ответ: 2.

Проверяется сокращение арифметических корней.

√20 = √(4 · 5) = 2√5, поэтому √20 / √5 = 2.

Ответ: 2.