Задание 16 ЕГЭ по базовой математике

Проверяются свойства степеней и действия с десятичными дробями. В знаменателе 3 · 10⁻¹ = 0,3, а в числителе 1,5 · 10² = 150. Делим: 150 / 0,3 = 500. Ответ: 500.

Номер проверяет свойства степеней и преобразование выражений. Представим 27 как 3³: 27⁴ = 3¹², поэтому 27⁴ / 3⁶ = 3⁶ = 729. Далее 9² = 81, и 729 : 81 = 9. Ответ: 9.

Задание проверяет связь логарифма и степени: log_ab = c, если a^c = b. Здесь (√13)² = 13, поэтому log_√1313 = 2.

Ответ: 2.

Проверяется связь тангенса и котангенса одного угла. Для угла 78° тангенс и котангенс определены, а ctg α = 1 / tg α. Поэтому tg 78° · ctg 78° = 1.

Ответ: 1.

Задание проверяет периодичность косинуса и его значения для табличных углов. cos 630° = cos(630° − 360°) = cos 270° = 0, поэтому −15 · cos 630° = −15 · 0 = 0. Ответ: 0.

Проверяется связь между синусом, косинусом и тангенсом острого угла. По формуле sin²α + cos²α = 1 получаем cos α = √(1 − 36/61) = 5/√61, так как угол острый. Тогда tg α = sin α / cos α = (6/√61)/(5/√61) = 1,2. Ответ: 1,2.

Проверяются свойства степеней с одинаковым основанием. 4⁻² · (4³/4⁻¹) = 4⁻² · 4⁴ = 4² = 16.

Ответ: 16.

По определению логарифма log₃ 7 — показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 7. Поэтому 3^(2 + log₃ 7) = 3² · 3^(log₃ 7) = 9 · 7 = 63.

Ответ: 63.

Задание проверяет логарифмы и свойства корней. √3 = 3^1/2, а log_√3 9 = log_3^1/2 3² = 2 ÷ (1/2) = 4.

Ответ: 4.

Проверяется связь логарифма и степени. Поскольку log₃ 2 — показатель, в который нужно возвести 3, чтобы получить 2, имеем 3^{log₃ 2} = 2. Поэтому 3^{7·log₃ 2} = (3^{log₃ 2})⁷ = 2⁷ = 128. Ответ: 128.

Задание проверяет преобразование выражений с квадратным корнем и степенью.

(4√5)² = 4²·(√5)² = 16·5 = 80. Тогда 64/80 = 0,8.

Ответ: 0,8.

Сначала вычислим степени: 8² / 2² = 64 / 4 = 16, а 4² = 16. Двоеточие означает деление, поэтому 16 : 16 = 1.

Ответ: 1.

Раскроем произведение, учитывая, что √12 = 2√3. Тогда (√12 − √3) · √3 = (2√3 − √3) · √3 = √3 · √3 = 3.
Ответ: 3.

По основному тригонометрическому тождеству sin²α + cos²α = 1. Поэтому sin²α = 1 − (3√11/10)² = 1 − 99/100 = 1/100, откуда sin α = ±0,1. Угол находится в IV четверти, где синус отрицателен, значит sin α = −0,1.
Ответ: −0,1.

Вынесем из-под корня квадратный множитель: √112 = √(16 · 7) = 4√7. Тогда (6√112)/√7 = (6 · 4√7)/√7 = 24.
Ответ: 24.

Проверяется связь синуса и косинуса угла: sin²α + cos²α = 1. Так как угол острый, cos α положителен, поэтому cos α = √(1 − (2√6/5)²) = √(1 − 24/25) = √(1/25) = 0,2.

Ответ: 0,2.

Задание проверяет свойства степеней. Представим выражение как 8³ / 4² : 2² = 2⁹ / 2⁴ / 2² = 2³ = 8. Ответ: 8.

Проверяется применение формул квадрата произведения и корня. В числителе (3√2)² = 9 · 2 = 18, поэтому выражение равно 18 / 18 = 1.

Ответ: 1.

Задание проверяет свойства логарифма и преобразование корня в степень.

√7 = 7^1/2, поэтому log_√7(7³) = log_7^1/2(7³) = 3 ÷ 1/2 = 6.

Ответ: 6.

Проверяется возведение произведения в квадрат и сокращение дроби. (3√2)² = 9 · 2 = 18, поэтому 63 / 18 = 3,5.

Ответ: 3,5.