Задание 16 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется тема «Значение выражения»: свойство логарифма частного. log₃ 117 − log₃ 13 = log₃(117/13) = log₃ 9 = 2, поскольку 3² = 9.

Ответ: 2

Используем свойство a^{log_a b} = b: 7^{−2 log₇ 2} = (7^{log₇ 2})⁻² = 2⁻² = 1/4 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Проверяется основное тригонометрическое тождество sin²α + cos²α = 1. Так как угол острый, sin α > 0, поэтому sin α = √(1 − cos²α) = √(1 − 21/25) = √(4/25) = 0,4.

Ответ: 0,4.

Задание проверяет свойства степеней с целым показателем.

2¹² = (2²)⁶ = 4⁶, значит дробь 2¹² : 4² = 4⁴. Далее 4⁴ : 8² = 256 : 64 = 4.

Ответ: 4.

Представим числа как степени тройки: 9⁸ = 3¹⁶, а 27² = 3⁶. Выражение равно 3¹⁶ / 3⁹ : 3⁶ = 3⁷ : 3⁶ = 3.

Ответ: 3.

Проверяется формула разности квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b².

Здесь a = √17, b = 2√3. Получаем (√17)² − (2√3)² = 17 − 12 = 5.

Ответ: 5.

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: 3³ / 3⁻³ = 3⁶. Затем 3⁻⁴ · 3⁶ = 3², так как при умножении показатели складываются. 3² = 9.

Ответ: 9.

Используем свойство логарифма: log₆ 5 — это показатель степени, в которую нужно возвести 6, чтобы получить 5. Тогда 6^(2 + log₆ 5) = 6² · 6^(log₆ 5) = 36 · 5 = 180.

Ответ: 180.

Задание проверяет свойства степеней и преобразование выражений. Так как 15⁴ = 3⁴ · 5⁴, дробь сокращается: (3⁴ · 5⁵) / (3⁴ · 5⁴) = 5.

Ответ: 5.

Задание проверяет свойства логарифмов: log₂a − log₂b = log₂(a/b).

log₂80 − log₂5 = log₂(80/5) = log₂16 = 4, поскольку 2⁴ = 16.

Ответ: 4.

Возведём в квадрат: (4√5)² = 16 · 5 = 80. Делим 80 на 32 и получаем 2,5.

Ответ: 2,5.

Проверяется вычисление выражения с десятичными дробями и степенями числа 10.

9,4 · 10² = 940, а 5,4 · 10³ = 5400. Сумма равна 940 + 5400 = 6340.

Ответ: 6340.

Задание проверяет свойство логарифма произведения: logₐ x + logₐ y = logₐ(xy).

log₁₅ 5 + log₁₅ 45 = log₁₅(5 · 45) = log₁₅ 225.

Так как 225 = 15², получаем log₁₅ 225 = 2.

Ответ: 2.

Используем правило a^(logₐb) = b. Показатель 2 · log₇3 можно записать как log₇3², поскольку 2 · log₇3 = log₇9.

Тогда 7^(2 · log₇3) = 7^(log₇9) = 9.

Ответ: 9.

Проверяются свойства степени и преобразование выражений.

В числителе: (9⁻³)² = 9⁻⁶. Тогда 9⁻⁶ : 9⁻⁸ = 9² = 81.

Ответ: 81.

Проверяются свойства степени с целым показателем.

Чётная степень числа −1 равна 1: (−1)⁴ = 1 и (−1)⁶ = 1.

Тогда 3 · 1 + 5 · 1 = 8.

Ответ: 8.

Преобразуем степени десяти: 10² / 10⁻² = 10⁴. Тогда 2,7 · 10² / (9 · 10⁻²) = (2,7 / 9) · 10⁴ = 0,3 · 10 000 = 3000.

Ответ: 3000.

Проверяется тема «Значение выражения»: свойство логарифма произведения. log₄ 12,8 + log₄ 5 = log₄(12,8 · 5) = log₄ 64 = 3, поскольку 4³ = 64.

Ответ: 3

Проверяется умение применять свойства логарифмов. Поскольку 0,2 = 1/5, а 20 = 4 · 5, получаем log₂(0,2) + log₂(20) = log₂(0,2 · 20) = log₂4 = 2.

Ответ: 2.

Применяем формулу разности квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b².

Здесь a = 4√2, b = √17. Получаем (4√2)² − (√17)² = 32 − 17 = 15.

Ответ: 15.