Задание 16 ЕГЭ по базовой математике

Проверяется свойство суммы логарифмов: log₁₀8 + log₁₀125 = log₁₀(8 · 125) = log₁₀1000. Поскольку 1000 = 10³, значение равно 3.

Ответ: 3.

Проверяется вычисление произведения чисел, записанных с помощью степеней десяти. Используем 10² · 10⁻² = 10⁰ = 1. Тогда (2 · 10²) · (1,1 · 10⁻²) = 2 · 1,1 · 1 = 2,2.

Ответ: 2,2.

Проверяется применение свойств степеней с одинаковым основанием. В дроби 2⁻² / 2² = 2⁻⁴. Поэтому 2⁶ · 2⁻⁴ = 2² = 4.

Ответ: 4.

Задание проверяет свойства степеней с одинаковым основанием: при умножении показатели складываются, а при делении вычитаются. (7⁻⁹ · 7³) / 7⁻⁸ = 7⁻⁹⁺³⁻⁽⁻⁸⁾ = 7² = 49.

Ответ: 49.

Задание проверяет вычисление логарифмов. Сначала log₄16 = 2, поскольку 4² = 16. Затем log₂2 = 1, поскольку 2¹ = 2.

Ответ: 1.

Проверяется вычисление выражения со степенями десяти.

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: (2,4 · 10²) / (8 · 10⁻¹) = (2,4 / 8) · 10³ = 0,3 · 1000 = 300.

Ответ: 300.

Проверяется упрощение квадратных корней.

√162 = √(81 · 2) = 9√2. Делим на √2 и получаем 9.

Ответ: 9.

Задание проверяет свойства степеней и порядок действий.

8³ / 4³ = (8 / 4)³ = 2³ = 8. Затем 8 : 2² = 8 : 4 = 2.

Ответ: 2.

Применим свойство √a · √b = √(ab): выражение равно √(2 · 55) / √(22 · 5) = √110 / √110. Числитель и знаменатель равны, поэтому значение дроби равно 1.

Ответ: 1.

Задание проверяет вычисления со степенями и квадратными корнями.

В знаменателе: (2√3)² = 2² · (√3)² = 4 · 3 = 12.

Тогда 54 : 12 = 4,5.

Ответ: 4,5.

Проверяются свойства степеней с целым показателем. По правилу деления степеней с одинаковым основанием: 4⁶/4² = 4⁴. Тогда 4⁻³ · 4⁴ = 4¹ = 4.

Ответ: 4.

Задание проверяет основное тригонометрическое тождество и знак косинуса в первой четверти.

cos² α = 1 − sin² α = 1 − (3√11 / 10)² = 1 − 99 / 100 = 1 / 100. Так как 0° < α < 90°, cos α > 0, поэтому cos α = 0,1.

Ответ: 0,1.

Задание проверяет вычисление логарифмов. Так как 3² = 9, то log₃9 = 2:

log₂(log₃9 + 6) = log₂(2 + 6) = log₂8 = 3.

Ответ: 3.

Задание проверяет свойства степеней и преобразование выражений. Представим 14⁹ как 2⁹ · 7⁹:

(2⁹ · 7⁹) / (2⁷ · 7⁸) = 2² · 7 = 28.

Ответ: 28.

Проверяется связь синуса, косинуса и тангенса, а также учёт четверти. Из sin² α + cos² α = 1 получаем sin² α = 1 − 25/34 = 9/34. Так как 90° < α < 180°, синус положителен: sin α = 3/√34. Тогда tg α = sin α / cos α = (3/√34)/(−5/√34) = −3/5 = −0,6. Ответ: −0,6.

Проверяется связь синуса и косинуса и знаки тригонометрических функций во II четверти. Используем sin²α + cos²α = 1: sin²α = 1 − (−√21/5)² = 1 − 21/25 = 4/25. В заданном промежутке синус положителен, поэтому sin α = 2/5 = 0,4. Ответ: 0,4.

Проверяется свойство суммы логарифмов: log₆4,5 + log₆48 = log₆(4,5 · 48) = log₆216 = log₆6³ = 3.

Ответ: 3.

Проверяется применение свойств степеней и вычисление значения выражения.

10³ = 1000, 10² = 100, 10¹ = 10. Тогда 7 · 1000 + 2 · 100 + 3 · 10 = 7000 + 200 + 30 = 7230.

Ответ: 7230.

Проверяется упрощение выражений с арифметическими корнями. Объединим дробь под одним корнем: √(7 · 22)/√(11 · 14) = √(154/154) = √1 = 1.

Ответ: 1.

Задание проверяет свойства степеней и преобразование выражений.

Представим 6¹⁰ = 2¹⁰ · 3¹⁰, а 12⁹ = 2¹⁸ · 3⁹. После сокращения получаем 2³ · 3 = 24.

Ответ: 24