Задание 16 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет умножение сопряжённых выражений и формулу разности квадратов: (a + b)(a − b) = a² − b². Поэтому (√23 + 3)(√23 − 3) = 23 − 9 = 14. Ответ: 14.

Задание проверяет действия с корнями и преобразование выражений. В знаменателе (2√3)² = 4·3 = 12, поэтому 66 : 12 = 5,5.

Ответ: 5,5.

Проверяется преобразование степеней и извлечение арифметического корня.

√(2⁴ · 5²) = √(16 · 25) = √400 = 20.

Ответ: 20.

Задание проверяет свойства степеней и преобразование выражений. Так как 4⁵ = (2²)⁵ = 2¹⁰, получаем 2¹⁰ / 2⁶ : 2² = 2⁴ : 2² = 2² = 4.

Ответ: 4.

Задание проверяет определение логарифма и свойства степеней. Так как log₅ 3 — показатель, в который нужно возвести 5, чтобы получить 3, имеем 5^(1 + log₅ 3) = 5 · 5^(log₅ 3) = 5 · 3 = 15. Ответ: 15.

Представим знаменатель как 6⁷ = 2⁷ · 3⁷. Тогда (2⁹ · 3⁸) / (2⁷ · 3⁷) = 2² · 3 = 4 · 3 = 12.

Ответ: 12.

Проверяется умножение арифметических корней: √a · √b = √(ab). Тогда √12 · √3 = √36 = 6.

Ответ: 6.

Задание проверяет свойства степеней с целыми показателями. В знаменателе (6³)⁻² = 6⁻⁶, поэтому 6⁻⁴ / 6⁻⁶ = 6⁻⁴⁻⁽⁻⁶⁾ = 6² = 36.

Ответ: 36.

Проверяется связь синуса и косинуса: sin² α + cos² α = 1, а также знак косинуса в IV четверти.

cos² α = 1 − (−√91/10)² = 1 − 91/100 = 9/100. При 270° < α < 360° косинус положителен, поэтому cos α = √(9/100) = 0,3.

Ответ: 0,3.

Проверяется упрощение выражений с квадратными корнями. Используем √8 · √98 = √(8 · 98) = √784 = 28. Тогда (4 / 7) · 28 = 16.

Ответ: 16.

Задание проверяет преобразование арифметических корней в дроби.

√75 / √3 = √(75/3) = √25 = 5.

Ответ: 5.

Проверяются действия с арифметическими корнями. Используем свойство √a · √b = √(a · b): √44 · √11 = √484 = 22.

Ответ: 22.

Проверяется вычисление степеней и деление степеней с одинаковым основанием.

64 = 8², поэтому 64³ = (8²)³ = 8⁶. Тогда 8⁹ / 8⁶ = 8³ = 512.

Ответ: 512.

Проверяются свойства степеней с целым показателем. В числителе 3⁻⁹ · 3⁹ = 3⁰ = 1, поэтому всё выражение равно 1/3⁻⁴ = 3⁴ = 81.

Ответ: 81.

Сначала возводим числитель в квадрат: (6√2)² = 6² · (√2)² = 36 · 2 = 72. Затем делим: 72 / 24 = 3.

Ответ: 3.

Проверяются свойства степеней и действия с десятичными дробями. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: (7,5 · 10²) : (1,5 · 10⁻²) = (7,5 : 1,5) · 10⁴ = 5 · 10⁴ = 50000.

Ответ: 50000.

Задание проверяет вычисление степеней и действий с десятичными дробями. 10¹ = 10, 10² = 100, 10⁻¹ = 0,1. Тогда 7 · 10 + 4 · 100 + 9 · 0,1 = 70 + 400 + 0,9 = 470,9.

Ответ: 470,9.

Задание проверяет свойства степеней и логарифмов. По формуле 3^{log₃ 2} = 2 получаем 3^{5·log₃ 2} = (3^{log₃ 2})⁵ = 2⁵ = 32.

Ответ: 32.

Проверяется вычисление степени с логарифмом в показателе. По определению log₂ 3 — это число, в которое нужно возвести 2, чтобы получить 3, поэтому 2^{log₂ 3} = 3. Тогда 2^{log₂ 3 − 1} = 3 / 2 = 1,5.

Ответ: 1,5.

Проверяются преобразования выражений с корнями. По свойству √a · √b = √(a · b): √1,4 · √35 = √49 = 7.

Ответ: 7.