Задание 16 ЕГЭ по базовой математике

Задание проверяет свойства логарифмов. Используем правило: log₄a + log₄b = log₄(ab). Тогда log₄2 + log₄32 = log₄64 = 3, поскольку 4³ = 64.

Ответ: 3.

Проверяется упрощение выражения с арифметическими корнями. Так как 245 = 49 · 5, получаем √245 = 7√5. Тогда (7√5)/(7√5) = 1.

Ответ: 1.

Задание проверяет преобразование выражений со степенями. Представим числа как степени двойки и тройки: 2⁴ · 6⁶ / 12⁵ = 2⁴ · 2⁶ · 3⁶ / (2¹⁰ · 3⁵) = 2⁰ · 3¹ = 3.

Ответ: 3.

Задание проверяет свойства логарифма и степеней. Выражение — log_√2(2⁵). Так как 2 = (√2)², то 2⁵ = (√2)¹⁰, и log_√2((√2)¹⁰) = 10.

Ответ: 10.

Проверяется свойство степеней с одинаковым основанием: при умножении показатели складываются, а при делении вычитаются. (3⁻⁵ · 3⁹) / 3² = 3⁽⁻⁵⁺⁹⁻²⁾ = 3² = 9.

Ответ: 9.

Проверяется применение свойства логарифмов: logₐx − logₐy = logₐ(x / y).

log₃351 − log₃13 = log₃(351 / 13) = log₃27 = 3, поскольку 3³ = 27.

Ответ: 3.

Задание проверяет свойства степеней. Представим числа как степени простых множителей: 6²⁰ · 3¹⁹ = 2²⁰ · 3³⁹, а 18¹⁸ = 2¹⁸ · 3³⁶. После сокращения получаем 2² · 3³ = 4 · 27 = 108.

Ответ: 108.

Проверяется свойство логарифмов: log₅a − log₅b = log₅(a : b). Получаем log₅(150 : 6) = log₅25 = 2, поскольку 5² = 25. Ответ: 2.

Проверяется умножение чисел в стандартной записи и свойства степеней.

(4 · 10⁵) · (2,3 · 10⁻⁷) = 4 · 2,3 · 10⁵⁻⁷ = 9,2 · 10⁻² = 0,092.

Ответ: 0,092.

Задание проверяет вычисления со степенями числа 10.

10¹ = 10, 10⁻² = 0,01, 10⁻¹ = 0,1.

3 · 10 + 4 · 0,01 + 2 · 0,1 = 30 + 0,04 + 0,2 = 30,24.

Ответ: 30,24.

Проверяются свойства степени и вычисление степеней отрицательного числа. При чётном показателе значение положительно: (−10)⁴ = 10000 и (−10)² = 100; при нечётном показателе (−10)¹ = −10. Складываем: 10000 + 100 − 10 = 10090.

Ответ: 10090.

Задание проверяет свойства степеней с целым показателем и вычисления с десятичными дробями. В дроби степени делятся: 10² / 10⁻¹ = 10³. Поэтому всё выражение равно (1,5 / 5) · 10³ = 0,3 · 1000 = 300. Ответ: 300.

Задание проверяет вычисление логарифмов по определению.

Так как 3² = 9, log₃9 = 2. Тогда log₂(2 + 2) = log₂4 = 2, поскольку 2² = 4.

Ответ: 2

Задание проверяет периодичность тангенса: tg(α + 360°) = tg α.

tg 420° = tg 60° = √3, поэтому −50√3 · tg 420° = −50√3 · √3 = −150.

Ответ: −150.

Проверяется умение преобразовывать выражения со степенями и корнями.

(2√6)² = 4 · 6 = 24, поэтому 36 / (2√6)² = 36 / 24 = 1,5.

Ответ: 1,5.

Задание проверяет свойства степени с целым показателем.

По правилу (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ получаем (5⁻⁴)² = 5⁻⁸.

Делим степени с одинаковым основанием: 5⁻⁸ : 5⁻¹⁰ = 5⁻⁸⁻⁽⁻¹⁰⁾ = 5² = 25.

Ответ: 25.

Сначала вычислим степени: (0,1)³ = 0,001, 10⁴ = 10000, а 2⁻³ = 1/8.

Деление на 2⁻³ равносильно умножению на 8: 0,001 · 10000 · 8 = 80.

Ответ: 80.

Задание проверяет вычисления со степенями. При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат отрицательный, в чётную — положительный: (−10)³ = −1000, (−10)² = 100, (−10)⁰ = 1.

Складываем: −1000 + 100 + 1 = −899.

Ответ: −899.

Проверяется умение упрощать выражения с арифметическими корнями.

Объединим дробь под одним корнем: √(7 · 33) / √(11 · 21) = √(231 / 231) = √1 = 1.

Ответ: 1.

Задание проверяет чётность и нечётность целых степеней отрицательного числа. (−1)² = 1, а (−1)⁵ = −1, поэтому 6 · 1 + 4 · (−1) = 2.

Ответ: 2