Задание 16 ЕГЭ по базовой математике

Используем свойство: a^(logₐ b) = b. Поэтому 2^(log₂ 6 − 3) = 2^(log₂ 6) / 2³.

Получаем 6 / 8 = 0,75.

Ответ: 0,75.

Проверяются свойства степеней и логарифма: a^{logₐ b} = b.

5^{3 + log₅ 6} = 5³ · 5^{log₅ 6} = 125 · 6 = 750.

Ответ: 750.

Проверяется формула разности квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b².

(√23 − 4√2)(√23 + 4√2) = 23 − (4√2)² = 23 − 32 = −9.

Ответ: −9.

Задание проверяет свойства степеней с целыми показателями. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: (3⁻¹⁰ · 3⁵) / 3⁻⁷ = 3⁻¹⁰⁺⁵⁻⁽⁻⁷⁾ = 3². Значит, значение выражения равно 9. Ответ: 9.

Задание проверяет умножение выражений с корнями с помощью разности квадратов.

По формуле (a + b)(a − b) = a² − b² получаем (6√19)² − 4².

Вычисляем: 36 · 19 − 16 = 684 − 16 = 668.

Ответ: 668.

Задание проверяет связь синуса и косинуса и определение знака по четверти. По формуле sin² α + cos² α = 1 получаем cos² α = 1 − 15/16 = 1/16, значит cos α = ±1/4. Так как 270° < α < 360°, угол лежит в IV четверти, где косинус положителен. Ответ: 0,25.

Тема: свойства степеней с целыми показателями и вычисления с десятичными дробями.

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: 10³ / 10⁻¹ = 10⁴. Тогда (1,6 · 10³) / (4 · 10⁻¹) = (1,6 / 4) · 10⁴ = 0,4 · 10⁴ = 4000.

Ответ: 4000.

Задание проверяет вычисление логарифмов по определению. Так как 3² = 9 и 3⁴ = 81, имеем log₃ 81 = 4. Затем log₂ 4 = 2, поскольку 2² = 4. Ответ: 2.

Проверяется преобразование арифметических корней.

√150 / √6 = √(150 / 6) = √25 = 5.

Ответ: 5.

Проверяется преобразование выражения с квадратным корнем и степенью.

(4√6)² = 4² · (√6)² = 16 · 6 = 96.

Делим: 96/64 = 1,5.

Ответ: 1,5.

Проверяется умножение арифметических корней.

√10 · √4,9 = √(10 · 4,9) = √49 = 7.

Ответ: 7.

Проверяется упрощение произведения корней и дроби. √18 · √98 = √(18 · 98) = √1764 = 42. Тогда (5/7) · 42 = 30.

Ответ: 30

Задание проверяет вычисление квадратного корня и свойства степеней. Под корнем 2⁴·3² = 16·9 = 144, поэтому √144 = 12. Ответ: 12.

Тема: вычисление выражений со степенями. Вычислим степени: 4³ = 64 и 4⁴ = 256.

Тогда 3 · 64 + 2 · 256 = 192 + 512 = 704.

Ответ: 704.

Задание проверяет умножение чисел в стандартной записи и свойства степеней. Перемножим коэффициенты и сложим показатели числа 10: (3 · 10⁵)(2,8 · 10⁻³) = 8,4 · 10² = 840. Ответ: 840.

Проверяются свойства логарифмов и степеней.

log₅(11¹⁵) = 15 · log₅ 11, поэтому дробь равна (15 · log₅ 11) : (3 · log₅ 11) = 5.

Ответ: 5.

Проверяется значение косинуса угла в градусах. cos 540° = cos(180° + 360°) = cos 180° = −1, так как косинус имеет период 360°.

37 · cos 540° = 37 · (−1) = −37.

Ответ: −37.

Задание проверяет свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: log₃ a + log₃ b = log₃(ab). Поэтому log₃ 0,6 + log₃ 405 = log₃(0,6 · 405) = log₃ 243. Так как 243 = 3⁵, значение равно 5. Ответ: 5.

Проверяется умножение суммы и разности по формуле разности квадратов: (a + b)(a − b) = a² − b².

(8√6 + 6)(8√6 − 6) = (8√6)² − 6² = 64 · 6 − 36 = 348.

Ответ: 348.

Тема: свойства степеней с целыми показателями.

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: 5⁶ / 5³ = 5³. Затем при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: 5⁻¹ · 5³ = 5² = 25.

Ответ: 25.