Стереометрия · 369 заданий ФИПИ с ответами
Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 7 и 3. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 42.
Задание проверяет формулу объёма пирамиды: V = Sосн · h / 3. Площадь прямоугольного основания равна 7 · 3 = 21.
Высота h = 3 · 42 / 21 = 6.
Ответ: 6.
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 24, боковое ребро равно 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Проверяется площадь боковой поверхности правильной пирамиды. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 37, 37 и 24.
Высота грани равна √(37² − 12²) = 35. Площадь одной грани: 24 · 35 / 2 = 420.
Граней шесть, поэтому площадь боковой поверхности равна 6 · 420 = 2520.
Ответ: 2520.
| Длина ребра куба АВСDА1В1С1D1 равна 6. |
|
Задание проверяет объём пирамиды с треугольным основанием. Основание BКР лежит в грани куба и является прямоугольным треугольником: BК = BР = 3, поэтому его площадь равна 3 · 3 / 2 = 4,5. Высота пирамиды из B₁ к плоскости основания равна ребру куба, то есть 6; объём равен 1/3 · 4,5 · 6 = 9. Ответ: 9.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| Плоскость, проходящая через точки , и (см. рис.), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника |
|
Задание проверяет подсчёт элементов многогранника. По рисунку плоскость срезает у тетраэдра вершину, образуя меньшую часть с 4 вершинами — треугольную пирамиду. У неё 3 ребра основания и 3 боковых ребра, всего 6.
Ответ: 6.
| В прямоугольном параллелепипеде рёбра и диагональ боковой грани равны соответственно 5, 6 и Найдите объём параллелепипеда |
|
Задание проверяет объём прямоугольного параллелепипеда: V = a · b · h. Диагональ грани DA₁ образует прямоугольный треугольник с рёбрами DA = 5 и AA₁, поэтому AA₁² = (√29)² − 5² = 4 и AA₁ = 2. Тогда V = 5 · 6 · 2 = 60.
Ответ: 60.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 6, а гипотенуза равна . Найдите объём призмы, если её высота равна 2 |
|
.
Задание проверяет объём призмы: он равен площади основания, умноженной на высоту призмы.
В прямоугольном треугольнике второй катет равен √((6√2)² − 6²) = 6. Площадь основания равна 6 · 6 : 2 = 18.
Объём равен 18 · 2 = 36.
Ответ: 36.
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 5 и 6,
а второго 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой поверхности второго?
Задание проверяет умение находить площадь боковой поверхности конуса и сравнивать площади.
Используем формулу S = πrl, где r — радиус основания, l — образующая. Отношение площадей равно (π · 5 · 6) / (π · 2 · 3) = 5.
Ответ: 5.
| Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 10 и 2, |
|
Проверяется площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Третье ребро равно 100 / (10 · 2) = 5. Площадь поверхности равна 2 · (10 · 2 + 10 · 5 + 2 · 5) = 160. Ответ: 160.
| Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 24, боковое ребро равно 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. |
|
Задание проверяет площадь боковой поверхности правильной пирамиды. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 37, 37 и основанием 24.
Высота грани делит основание пополам, поэтому её высота равна √(37² − 12²) = 35. Площадь одной грани: 24 · 35 / 2 = 420.
Граней шесть, значит площадь боковой поверхности равна 6 · 420 = 2520. Ответ: 2520.
| Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая |
|
Проверяется умение находить площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси.
Ширина сечения — хорда основания на расстоянии 9 от центра: 2√(15² − 9²) = 2√144 = 24. Высота сечения равна образующей цилиндра, то есть 19; площадь равна 24 · 19 = 456.
Ответ: 456.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 1, а высота пирамиды равна Найдите объём этой пирамиды.
Задание проверяет объём пирамиды: V = (1/3)·Sосн·h. Основание — равносторонний треугольник со стороной 1, поэтому Sосн = (√3/4)·1² = √3/4. Тогда V = (1/3)·(√3/4)·32√3 = 8.
Ответ: 8
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна . Найдите объём призмы, если её высота равна 2. |
|
Площадь основания прямой призмы равна половине произведения катетов. По теореме Пифагора второй катет равен √((2√13)² − 4²) = √36 = 6. Тогда объём призмы: (4 · 6 / 2) · 2 = 24.
Ответ: 24.
В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 10, а боковое ребро перпендикулярно основанию и равно Найдите объём пирамиды
Задание проверяет объём пирамиды: V = (1/3) · Sосн · h.
Высота равна SA = 7√3, так как это ребро перпендикулярно основанию. Площадь правильного треугольника со стороной 10 равна 10²√3/4 = 25√3.
Объём равен (1/3) · 25√3 · 7√3 = 175.
Ответ: 175.
| В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 270 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах. |
|
Проверяется применение свойства подобных конусов: если высота уровня жидкости составляет 3/4 высоты конуса, то радиус поверхности жидкости тоже составляет 3/4 радиуса основания.
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия, поэтому доля заполненного объёма равна (3/4)³ = 27/64.
Если 270 мл составляют 27/64 объёма сосуда, то объём сосуда равен 270 · 64 / 27 = 640 мл.
Ответ: 640.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, |
|
Задание проверяет объём прямой призмы: V = Sосн · h.
В прямоугольном треугольнике второй катет равен √((2√2)² − 2²) = 2, по теореме Пифагора.
Площадь основания равна (1/2) · 2 · 2 = 2, поэтому объём призмы равен 2 · 4 = 8.
Ответ: 8.
| Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2, а высота этой призмы равна . Найдите объём призмы . |
|
Задание проверяет объём прямой призмы: V = Sосн · h. Площадь равностороннего треугольника со стороной 2 равна 2²√3/4 = √3. Умножаем её на высоту призмы 3√3: V = √3 · 3√3 = 9. Ответ: 9.
В треугольной пирамиде три ребра взаимно перпендикулярны, а их длины равны 4, 12 и 1. Найдите объём этой пирамиды.
Задание проверяет формулу объёма пирамиды: V = 1/3 · Sосн · h. При взаимно перпендикулярных рёбрах 4, 12 и 1 одно из них является высотой, а два других — катетами основания. Поэтому V = 1/3 · (4 · 12 / 2) · 1 = 8.
Ответ: 8.
| Радиус основания цилиндра равен 5, а его образующая равна 17. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 3. Найдите площадь этого сечения. |
|
Образующая цилиндра равна его высоте, поэтому высота сечения равна 17. Сечение проходит на расстоянии 3 от оси, значит его ширина — хорда основания: 2√(5² − 3²) = 8. Площадь сечения равна 17 · 8 = 136.
Ответ: 136.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а высота пирамиды равна Найдите объём этой пирамиды.
Проверяется нахождение объёма пирамиды по формуле V = 1/3 · Sосн · h.
Основание — равносторонний треугольник со стороной 2, его площадь равна Sосн = 2²√3 / 4 = √3.
Тогда V = 1/3 · √3 · 4√3 = 4.
Ответ: 4.
| В прямоугольном параллелепипеде рёбра и диагональ боковой грани равны соответственно 3, 4 и 5. Найдите объём параллелепипеда |
|
Задание проверяет объём прямоугольного параллелепипеда. В прямоугольнике CDD₁C₁ диагональ CD₁ равна 5, а ребро CD равно 3, поэтому по теореме Пифагора DD₁ = √(5² − 3²) = 4.
Ребро CB равно 4, значит площадь основания ABCD равна CD · CB = 3 · 4 = 12. Объём равен площади основания, умноженной на высоту: 12 · DD₁ = 12 · 4 = 48.
Ответ: 48.
