Стереометрия · 369 заданий ФИПИ с ответами
Даны два шара с радиусами 7 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
Проверяется формула площади поверхности шара: S = 4πr². Отношение площадей зависит от квадратов радиусов.
Площадь большего шара больше в (7/1)² = 49 раз.
Ответ: 49.
| Сторона основания правильной треугольной призмы равна 3, а высота этой призмы равна . Найдите объём призмы . |
|
Задание проверяет объём призмы: он равен площади основания, умноженной на высоту. Площадь правильного треугольника со стороной 3 равна 3²√3/4 = 9√3/4. Тогда объём равен (9√3/4) · 3√3 = 81/4 = 20,25.
Ответ: 20,25
Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 14. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 70.
Задание проверяет нахождение объёма пирамиды.
Площадь прямоугольного основания равна 3 · 14 = 42.
Используем формулу V = ⅓ · Sосн · h. Тогда 70 = ⅓ · 42 · h, откуда h = 70 · 3 / 42 = 5.
Ответ: 5.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| В прямоугольном параллелепипеде рёбра , и диагональ боковой грани равны соответственно 5, 6 и . Найдите объём параллелепипеда . |
|
Проверяется вычисление объёма прямоугольного параллелепипеда и применение теоремы Пифагора. На боковой грани CD₁² = CD² + DD₁², поэтому DD₁² = 29 − 25 = 4 и DD₁ = 2.
Площадь основания равна 5 · 6 = 30. Объём равен 30 · 2 = 60.
Ответ: 60.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, |
|
Проверяется нахождение площади прямоугольного треугольника и объёма прямой призмы. Второй катет основания равен √(58 − 3²) = √49 = 7.
Площадь основания равна 3 · 7 / 2 = 10,5. Объём призмы равен 10,5 · 2 = 21.
Ответ: 21.
| Объём конуса равен , а его высота равна 9. Найдите радиус основания конуса. |
|
Задание проверяет объём конуса и связь объёма с радиусом основания.
Используем формулу V = 1/3 · πr²h. Подставим V = 27π и h = 9: 27π = 3πr², поэтому r² = 9 и r = 3.
Ответ: 3.
В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 6, а боковое ребро перпендикулярно основанию и равно Найдите объём пирамиды
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Высота — ребро SA, поскольку оно перпендикулярно основанию.
Площадь правильного треугольника со стороной 6 равна 6²√3 / 4 = 9√3. Тогда V = (1 / 3) · 9√3 · 2√3 = 18.
Ответ: 18.
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 3,
а второго 2 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого конуса?
Проверяется формула площади боковой поверхности конуса: Sбок = πrl. У обоих конусов радиус основания равен 2, а образующие равны 3 и 9. Отношение площадей равно (π · 2 · 9)/(π · 2 · 3) = 3.
Ответ: 3.
| Объём конуса равен 128. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. |
|
Проверяется отношение объёмов подобных конусов. Отсечённый конус подобен исходному с коэффициентом 1/4, так как точка делит высоту в отношении 1:3 от вершины. Его объём равен 128 · (1/4)³ = 2.
Ответ: 2.
| Радиус основания цилиндра равен 29, а его образующая равна 15. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 20. Найдите площадь этого сечения. |
|
Задание проверяет площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси. Ширина сечения — хорда основания на расстоянии 20 см от центра: 2√(29² − 20²) = 2√441 = 42 см. Образующая цилиндра равна его высоте, поэтому площадь сечения равна 42 · 15 = 630.
Ответ: 630
| Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4, а высота этой призмы равна Найдите объём призмы . |
|
Задание проверяет объём призмы: он равен площади основания, умноженной на высоту. Площадь правильного треугольника со стороной 4 равна 4²√3 / 4 = 4√3. Тогда объём равен 4√3 · 2√3 = 24.
Ответ: 24.
| Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 12 и 6, а объём параллелепипеда равен 144. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда. |
|
Задание проверяет нахождение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда по объёму и двум рёбрам. Третье ребро: 144 : (12 · 6) = 2. Площадь поверхности равна 2 · (12 · 6 + 12 · 2 + 6 · 2) = 216.
Ответ: 216.
Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 12. Найдите длину высоты этой пирамиды, если её объём равен 60.
Задание проверяет объём пирамиды: V = Sосн · h : 3.
Площадь прямоугольного основания равна 3 · 12 = 36. Тогда 60 = 36 · h : 3, откуда h = 60 · 3 : 36 = 5.
Ответ: 5.
В треугольной пирамиде рёбра и взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если и
Проверяется объём пирамиды с взаимно перпендикулярными рёбрами, выходящими из одной вершины. Её объём равен произведению этих рёбер, делённому на 6: V = 2 · 15 · 11 / 6 = 55. Ответ: 55.
Однородный шар диаметром 4 см весит
448 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 3 см, изготовленный из того же материала?
Проверяется связь массы однородного тела с его объёмом. У шаров из одного материала масса пропорциональна объёму, а объём шара пропорционален кубу диаметра.
Масса меньшего шара равна 448 · (3/4)³ = 448 · 27/64 = 189 г.
Ответ: 189.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3, а высота пирамиды равна Найдите объём этой пирамиды.
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Площадь равностороннего треугольника со стороной 3 равна 3²√3 / 4 = 9√3 / 4. Тогда V = (9√3 / 4) · 4√3 / 3 = 9.
Ответ: 9.
| Сторона основания правильной треугольной призмы равна 1, а высота этой призмы равна . Найдите объём призмы . |
|
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Основание — равносторонний треугольник со стороной 1, его площадь равна √3 / 4. Тогда объём равен (√3 / 4) · 2√3 = 6 / 4 = 1,5. Ответ: 1,5.
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 7 и 9,
а второго 2 и 7. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой поверхности второго?
Задание проверяет площадь боковой поверхности конуса: S = πrl, где r — радиус основания, l — образующая.
Для первого конуса площадь равна 9π · 7 = 63π, для второго — 7π · 2 = 14π. Отношение равно 63π : 14π = 4,5.
Ответ: 4,5.
| Объём конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. |
|
Сечение параллельно основанию отсекает конус, подобный исходному. Его высота в 2 раза меньше, поэтому все линейные размеры уменьшились в 2 раза, а объём — в 2³ = 8 раз. Объём отсечённого конуса равен 32 / 8 = 4. Ответ: 4.
| В прямоугольном параллелепипеде рёбра и диагональ боковой грани равны соответственно 5, 7 и Найдите объём параллелепипеда |
|
Проверяется вычисление объёма прямоугольного параллелепипеда по рёбрам и диагонали боковой грани. На боковой грани диагональ √34 и ребро 5, поэтому третье ребро равно √(34 − 25) = 3. Объём равен произведению трёх рёбер: 5 · 7 · 3 = 105. Ответ: 105.
