Стереометрия · 369 заданий ФИПИ с ответами
| Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6, а высота этой призмы равна Найдите объём призмы |
|
Задание проверяет площадь основания правильной треугольной призмы и её объём. Основание — равносторонний треугольник со стороной 6, его площадь равна 6²√3/4 = 9√3. Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту: V = 9√3 · √3 = 27.
Ответ: 27.
| Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 14, боковое ребро равно 25. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. |
|
Задание проверяет площадь боковой поверхности пирамиды. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 25, 25 и основанием 14; его высота равна √(25² − 7²) = 24. Площадь одной грани равна 14 · 24 : 2 = 168, а таких граней шесть. Значит, площадь боковой поверхности равна 6 · 168 = 1008.
Ответ: 1008.
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Боковая поверхность состоит из трёх одинаковых треугольников со сторонами 17, 17 и 16. Высота каждого треугольника делит сторону 16 пополам, поэтому её длина равна √(17² − 8²) = 15. Площадь одного треугольника равна 16 · 15/2 = 120. Тогда площадь боковой поверхности равна 3 · 120 = 360. Ответ: 360.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| Объём конуса равен , а его высота равна 6. Найдите радиус основания конуса. |
|
Используем формулу объёма конуса: V = πr²h/3. При V = 18π и h = 6 получаем 18π = 2πr², значит r² = 9 и r = 3. Радиус положителен. Ответ: 3.
В треугольной пирамиде рёбра , и взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если , и .
Проверяется объём треугольной пирамиды, у которой три ребра из одной вершины взаимно перпендикулярны. Для такой пирамиды V = AB · AC · AD / 6.
Подставим данные: V = 6 · 18 · 8 / 6 = 144.
Ответ: 144.
| Объём конуса равен а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса. |
|
Проверяется умение находить объём конуса и выражать его радиус. Используем формулу V = πr²h/3: 25π = πr² · 3/3 = πr². Тогда r² = 25, а радиус положителен, поэтому r = 5. Ответ: 5.
| В прямоугольном параллелепипеде рёбра , и диагональ боковой грани равны соответственно 6, 5 и . Найдите объём параллелепипеда . |
|
Задание проверяет вычисление объёма прямоугольного параллелепипеда по его рёбрам.
Диагональ боковой грани и ребро DA образуют прямоугольный треугольник, поэтому высота равна √((2√10)² − 6²) = 2. Объём равен произведению трёх измерений: 6·5·2 = 60.
Ответ: 60.
| Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 9 и 2, |
|
Задание проверяет вычисление площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Третье ребро равно 180 / (9 · 2) = 10. Площадь поверхности равна 2 · (9 · 2 + 9 · 10 + 2 · 10) = 2 · 128 = 256.
Ответ: 256.
| В прямоугольном параллелепипеде рёбра , и диагональ боковой грани равны соответственно 2, 5 и . Найдите объём параллелепипеда . |
|
Задание проверяет нахождение объёма прямоугольного параллелепипеда.
Диагональ боковой грани, ребро DA и высота образуют прямоугольный треугольник. Высота равна √((√29)² − 2²) = 5, поэтому объём равен 2·5·5 = 50.
Ответ: 50.
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре с половиной раза выше второй,
а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём первой кружки больше объёма второй?
Проверяется изменение объёма цилиндра при изменении высоты и диаметра.
Объём цилиндра V = πr²h. Первая кружка в 4,5 раза выше, а её диаметр составляет 1/1,5 = 2/3 диаметра второй. Поэтому отношение объёмов равно 4,5 · (2/3)² = 2.
Ответ: 2.
| Объём конуса равен , а его высота равна 6. Найдите радиус основания конуса. |
|
Задание проверяет применение формулы объёма конуса: V = ⅓πr²h.
Подставим объём и высоту: 162π = ⅓πr² · 6, откуда r² = 81 и r = 9. Радиус положителен.
Ответ: 9.
| Объём конуса равен , а его высота равна 6. Найдите радиус основания конуса. |
|
Проверяется нахождение объёма конуса по радиусу основания и высоте. Используем формулу V = 1/3 · πr²h: 98π = 1/3 · πr² · 6 = 2πr², значит r² = 49 и r = 7. Ответ: 7.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, |
|
Задание проверяет объём прямой призмы с прямоугольным треугольником в основании. По теореме Пифагора второй катет равен √((√13)² − 2²) = √9 = 3. Площадь основания равна 2 · 3/2 = 3, поэтому объём призмы V = 3 · 5 = 15.
Ответ: 15.
Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 10 и 3. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 40.
Площадь основания равна 10 · 3 = 30. Объём пирамиды вычисляется по формуле V = (1/3)Sоснh, поэтому 40 = (1/3) · 30 · h = 10h. Отсюда h = 4.
Ответ: 4.
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 4 и 6,
а второго 2 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой поверхности второго?
Площадь боковой поверхности конуса равна πrl, где r — радиус основания, а l — образующая. Для первого конуса она равна π · 4 · 6 = 24π, для второго — π · 2 · 8 = 16π. Отношение площадей равно 24π / 16π = 1,5. Ответ: 1,5.
| Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 10 и 7, |
|
Задание проверяет объём и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Третье ребро равно 420/(10·7) = 6. Площадь поверхности равна 2·(10·7 + 10·6 + 7·6) = 2·172 = 344.
Ответ: 344.
Однородный шар диаметром 2 см весит 48 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 3 см, изготовленный из того же материала?
Задание проверяет связь объёма шара с его диаметром и массой однородного тела.
При одинаковом материале масса пропорциональна объёму, а объём шара пропорционален кубу диаметра. Поэтому масса второго шара равна 48 · (3/2)³ = 48 · 27/8 = 162 г.
Ответ: 162.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 5, а высота пирамиды равна Найдите объём этой пирамиды.
Проверяется умение находить объём пирамиды: V = ⅓Sоснh. Основание — равносторонний треугольник со стороной 5, его площадь Sосн = 25√3/4. Тогда V = ⅓ · 25√3/4 · 4√3 = 25.
Ответ: 25.
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 20, а боковые рёбра равны 26. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Задание проверяет площадь боковой поверхности правильной пирамиды. Она состоит из трёх одинаковых треугольников.
В каждом боковом треугольнике боковые стороны равны 26, а основание — 20. Высота треугольника делит основание пополам, поэтому её длина равна √(26² − 10²) = 24.
Площадь одной грани равна 20 · 24 / 2 = 240. Площадь трёх граней: 3 · 240 = 720.
Ответ: 720.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна . Найдите объём призмы, если её высота равна 6. |
|
Задание проверяет вычисление объёма прямой призмы. По теореме Пифагора второй катет основания равен √(41 − 4²) = √25 = 5. Площадь прямоугольного треугольника основания равна 4 · 5/2 = 10, поэтому объём призмы V = 10 · 6 = 60.
Ответ: 60.
