Стереометрия · 369 заданий ФИПИ с ответами
Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 5 и 12. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 100.
Проверяется нахождение объёма пирамиды по площади основания и высоте. Площадь прямоугольного основания равна 5 · 12 = 60.
Из формулы V = Sосн · h / 3 получаем h = 3V / Sосн = 3 · 100 / 60 = 5.
Ответ: 5.
| Сторона основания правильной треугольной призмы равна 5, а высота этой призмы равна Найдите объём призмы |
|
Задание проверяет объём призмы: V = Sосн · h. Основание — равносторонний треугольник со стороной 5, его площадь равна 5²√3 / 4 = 25√3 / 4. Умножаем на высоту призмы 4√3: V = (25√3 / 4) · 4√3 = 75.
Ответ: 75.
Даны два конуса. Радиус основания
и образующая первого конуса равны соответственно 4 и 6, а второго — 2 и 3.
Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой поверхности второго конуса?
Задание проверяет формулу площади боковой поверхности конуса: S = πrl. Для первого конуса S₁ = π · 4 · 6 = 24π, для второго S₂ = π · 2 · 3 = 6π.
Их отношение равно 24π / 6π = 4.
Ответ: 4.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
Даны два шара с радиусами 8 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?
Задание проверяет отношение площадей поверхностей шара. Площадь равна 4πr², поэтому отношение площадей равно квадрату отношения радиусов: (8/2)² = 16.
Ответ: 16
| Радиус основания цилиндра равен 5, а его образующая равна 15. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 4. Найдите площадь этого сечения. |
|
Задание проверяет площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси. Ширина сечения — хорда основания на расстоянии 4 от центра: по теореме Пифагора её длина равна 2√(5² − 4²) = 6. Высота сечения равна образующей цилиндра, то есть 15, поэтому площадь равна 6 · 15 = 90.
Ответ: 90
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны, соответственно, 4 и 5, а второго 4 и 5. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?
Задание проверяет площадь боковой поверхности конуса: Sбок = πrl. У обоих конусов радиус основания равен 4, а образующая — 5, поэтому их боковые площади равны. Отношение площадей равно 1.
Ответ: 1.
| Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 10, боковое ребро равно 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. |
|
Проверяется вычисление площади боковой поверхности пирамиды. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 13, 13 и основанием 10; его высота равна √(13² − 5²) = 12. Площадь одной грани равна 10 · 12 / 2 = 60, таких граней шесть. Ответ: 360.
| Объём конуса равен а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса. |
|
Объём конуса вычисляется по формуле V = ⅓πr²h. Подставим данные: 16π = ⅓πr² · 3 = πr², значит r² = 16 и радиус r = 4.
Ответ: 4.
| Объём конуса равен а его высота равна 6. Найдите радиус основания конуса. |
|
Задание проверяет формулу объёма конуса. Из V = πr²h/3 получаем 32π = πr² · 6/3, поэтому r² = 16 и радиус основания равен 4.
Ответ: 4
| Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно |
|
Задание проверяет объём правильной четырёхугольной пирамиды. Расстояние от центра квадратного основания до его вершины равно половине диагонали: 4√2 / 2 = 2√2. По теореме Пифагора высота пирамиды равна √(17 − (2√2)²) = 3. Тогда объём равен 1/3 · 4² · 3 = 16.
Ответ: 16
Однородный шар диаметром 6 см весит 432 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 7 см, изготовленный из того же материала?
Проверяется связь массы однородного шара с его объёмом: при одинаковом материале масса пропорциональна объёму, а объём шара пропорционален кубу диаметра. Масса второго шара равна 432 · (7/6)³ = 686 г.
Ответ: 686.
Однородный шар диаметром 2 см весит 56 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 4 см, изготовленный из того же материала?
Задание проверяет связь объёма шара и его массы при одинаковой плотности.
Диаметр увеличился в 4 / 2 = 2 раза, значит, радиус тоже увеличился в 2 раза. Объём шара пропорционален кубу радиуса: 2³ = 8.
Масса увеличится в 8 раз: 56 · 8 = 448 г.
Ответ: 448.
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 2 и 6, а второго
6 и 3. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?
Задание проверяет объём конуса и сравнение объёмов. По формуле V = πr²h/3 отношение объёма второго конуса к первому равно (6² · 3)/(2² · 6) = 108/24 = 4,5.
Ответ: 4,5
Даны два шара с радиусами 4 и 2. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
Задание проверяет, как объём шара зависит от его радиуса.
Объём шара вычисляется по формуле V = 4/3 · πr³, поэтому отношение объёмов равно отношению кубов радиусов: 4³ / 2³ = 64 / 8 = 8.
Ответ: 8.
| Радиус основания цилиндра равен 25, а его образующая равна 9. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 24. Найдите площадь этого сечения. |
|
Задание проверяет сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси. Ширина сечения равна хорде основания: расстояние от центра до хорды — 24, радиус — 25, поэтому половина хорды равна √(25² − 24²) = 7, а вся хорда — 14. Высота сечения равна образующей цилиндра, то есть 9; площадь равна 14 · 9 = 126.
Ответ: 126.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, |
|
Задание проверяет объём прямой призмы: он равен площади основания, умноженной на высоту призмы. Второй катет прямоугольного треугольника равен √((2√10)² − 2²) = √36 = 6. Площадь основания равна 2 · 6 / 2 = 6, поэтому объём равен 6 · 3 = 18. Ответ: 18.
| Через точку, делящую высоту данного конуса |
|
Задание проверяет отношение объёмов подобных конусов.
Точка делит высоту в отношении 1:3 от вершины, значит высота отсечённого конуса составляет 1/4 высоты исходного. Конусы подобны, поэтому их объёмы относятся как кубы соответствующих линейных размеров: 1/4³ = 1/64.
Если объём малого конуса равен 5, объём исходного равен 5 · 64 = 320.
Ответ: 320.
| Даны два шара с радиусами 6 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего? |
|
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле S = 4πr². При увеличении радиуса в 6 раз площадь увеличивается в 6² = 36 раз.
Ответ: 36.
| Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно |
|
В правильной четырёхугольной пирамиде вершина находится над центром квадратного основания. Расстояние от центра основания до его вершины равно половине диагонали квадрата: 3√2. По теореме Пифагора высота пирамиды равна √(43 − 18) = 5. Объём равен 6² · 5 / 3 = 60. Ответ: 60.
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 4 и 2, а второго
2 и 4. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?
Задание проверяет отношение объёмов конусов. Объём конуса вычисляется по формуле V = ⅓πr²h. Поэтому отношение объёмов равно (4² · 2) / (2² · 4) = 2.
Ответ: 2.
