Стереометрия · 369 заданий ФИПИ с ответами
| Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка |
|
Проверяется нахождение объёма призмы и сравнение объёмов. Пусть сторона основания первой коробки равна a, тогда у второй она равна 2a, а высота первой — 2/3 высоты второй.
Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту. Поэтому отношение объёма второй коробки к объёму первой равно (2a)²h/(a²·(2h/3)) = 6.
Ответ: 6.
| Радиус основания цилиндра равен 25, а его образующая равна 16. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 15. Найдите площадь этого сечения. |
|
Проверяется площадь сечения цилиндра, параллельного его оси.
Половина хорды основания равна √(25² − 15²) = 20, значит, длина хорды равна 40. Площадь сечения равна 40 · 16 = 640.
Ответ: 640.
| В треугольной пирамиде рёбра и взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если и |
|
Задание проверяет объём пирамиды с взаимно перпендикулярными рёбрами. Возьмём за основание прямоугольный треугольник с катетами 2 и 15: его площадь равна 2 · 15 / 2 = 15, а высота пирамиды равна 7. Тогда V = ⅓ · 15 · 7 = 35.
Ответ: 35.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 10 и 9, |
|
Проверяется умение находить площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Третье ребро равно 450/(10 · 9) = 5. Площадь поверхности S = 2(ab + bc + ac) = 2(10 · 9 + 9 · 5 + 10 · 5) = 370.
Ответ: 370.
| Объём конуса равен , а его высота равна 6. Найдите радиус основания конуса. |
|
Проверяется умение находить радиус конуса по его объёму и высоте. По формуле V = πr²h/3 получаем 72π = πr² · 6/3 = 2πr², значит r² = 36 и r = 6. Ответ: 6.
| Объём конуса равен 54. Через точку, делящую высоту конуса в отношении считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. |
|
Задание проверяет подобие конусов и зависимость объёмов от линейного масштаба. Точка делит высоту в отношении 1:2 от вершины, поэтому высота отсечённого конуса составляет 1/3 высоты исходного. У подобных конусов объёмы относятся как кубы соответствующих линейных размеров: 54 · (1/3)³ = 2.
Ответ: 2.
| Сторона основания правильной треугольной призмы равна 3, а высота этой призмы равна Найдите объём призмы . |
|
Проверяются объём призмы и площадь её основания. Основание — равносторонний треугольник со стороной 3, поэтому его площадь равна 3²√3/4 = 9√3/4. Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту: (9√3/4) · 4√3 = 27.
Ответ: 27.
В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 6, а боковое ребро перпендикулярно основанию и равно Найдите объём пирамиды
Задание проверяет объём пирамиды: V = 1/3Sоснh. Площадь правильного треугольника со стороной 6 равна 6²√3/4 = 9√3.
Так как SA перпендикулярно основанию, высота пирамиды равна SA = 4√3. Тогда V = 1/3 · 9√3 · 4√3 = 36.
Ответ: 36.
| Сторона основания правильной треугольной призмы равна 1, а высота этой призмы равна . Найдите объём призмы . |
|
Проверяется вычисление объёма призмы: он равен площади основания, умноженной на высоту. Основание — равносторонний треугольник со стороной 1, его площадь равна √3/4. Тогда V = (√3/4) · √3 = 3/4 = 0,75. Ответ: 0,75.
В треугольной пирамиде рёбра и взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если и
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Возьмём за основание треугольник ABC: его площадь равна AB · AC / 2 = 5 · 24 / 2 = 60, поскольку AB перпендикулярно AC. Высота пирамиды — AD = 3, так как она перпендикулярна плоскости основания. Тогда V = 60 · 3 / 3 = 60.
Ответ: 60.
| Объём конуса равен а его высота равна 8. Найдите радиус основания конуса. |
|
Задание проверяет нахождение элементов конуса по формуле объёма: V = 1/3πr²h. Подставим данные: 24π = 1/3πr² · 8 = 8πr²/3.
После сокращения на π получаем r² = 9, значит, радиус основания равен 3.
Ответ: 3.
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 3 и 8, а второго — 2 и 3. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго?
Задание проверяет отношение объёмов цилиндров.
Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πr²h. Отношение объёма первого цилиндра ко второму равно (π·3²·8)/(π·2²·3) = 72/12 = 6.
Ответ: 6.
| Объём конуса равен а радиус его основания равен 3. Найдите длину высоты этого конуса. |
|
Проверяется формула объёма конуса: V = πr²h/3. Подставим V = 12π и r = 3: 12π = π · 3² · h/3 = 3πh. Отсюда h = 4.
Ответ: 4.
В треугольной пирамиде рёбра , и взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если , и .
Проверяется объём треугольной пирамиды с тремя взаимно перпендикулярными рёбрами из одной вершины. Эти рёбра можно взять за длины основания и высоты, поэтому V = AB · AC · AD / 6.
Подставим значения: V = 10 · 18 · 3 / 6 = 90.
Ответ: 90.
| Объём конуса равен а его высота равна 5. Найдите радиус основания конуса. |
|
Задание проверяет объём конуса: V = πr²h : 3. Подставим объём 15π и высоту 5: 15π = πr² · 5 : 3, откуда r² = 9 и r = 3. Радиус положителен.
Ответ: 3.
В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 6, а боковое ребро перпендикулярно основанию и равно Найдите объём пирамиды
Задание проверяет объём пирамиды: V = 1/3Sоснh. Площадь правильного треугольника со стороной 6 равна Sосн = 6²√3/4 = 9√3.
Ребро SA перпендикулярно основанию, поэтому оно является высотой пирамиды: h = 6√3. Тогда V = 1/3 · 9√3 · 6√3 = 54.
Ответ: 54.
| Объём конуса равен а его высота равна 8. Найдите радиус основания конуса. |
|
Объём конуса вычисляется по формуле V = 1/3 · πr²h. Подставим объём 24π и высоту 8: 24π = 1/3 · πr² · 8, откуда r² = 9 и r = 3, поскольку радиус положителен. Ответ: 3.
| Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1 : 2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсечённого проведённой плоскостью, равен 20. |
|
Задание проверяет подобие конусов: при параллельном основании сечение образует конус, подобный исходному. Точка делит высоту в отношении 1 : 2 от вершины, поэтому высота малого конуса составляет 1/3 высоты исходного.
Все линейные размеры малого конуса в 3 раза меньше, а его объём — в 3³ = 27 раз меньше. Значит, объём исходного конуса равен 20 · 27 = 540.
Ответ: 540.
Даны два конуса. Радиус основания
и высота первого конуса равны соответственно 2 и 3, а второго —
8 и 6. Во сколько раз объём второго конуса больше объёма первого?
Проверяется применение формулы объёма конуса: V = ⅓πr²h. При сравнении объёмов множители ⅓π сокращаются, поэтому отношение равно (8/2)² · (6/3) = 16 · 2 = 32.
Ответ: 32.
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один
из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна Найдите объём призмы, если её высота равна 4.
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн · H. Второй катет прямоугольного треугольника равен √((√65)² − 4²) = 7. Площадь основания равна 4 · 7/2 = 14, поэтому объём призмы равен 14 · 4 = 56. Ответ: 56.
