Стереометрия · 369 заданий ФИПИ с ответами
| Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 6 и 4, |
|
Проверяется умение находить площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда по его рёбрам и объёму.
Третье ребро равно 240 / (6 · 4) = 10. Площадь поверхности: S = 2(ab + bc + ac) = 2(6 · 4 + 4 · 10 + 6 · 10) = 248.
Ответ: 248.
В треугольной пирамиде три ребра взаимно перпендикулярны, а их длины равны 4, 6 и 1. Найдите объём этой пирамиды.
Проверяется тема «Стереометрия: объёмы и площади». Объём треугольной пирамиды с тремя взаимно перпендикулярными рёбрами равен V = abc/6. Подставим длины: V = 4 · 6 · 1/6 = 4.
Ответ: 4.
Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 9 и 2, а второго
3 и 3. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?
Объём конуса вычисляется по формуле V = πr²h / 3. В отношении объёмов множители π / 3 сокращаются: (9² · 2) / (3² · 3) = 162 / 27 = 6.
Ответ: 6.
Сейчас решённое хранится только в этом браузере. После входа — на телефоне и компьютере.
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 5, а гипотенуза равна . Найдите объём призмы, если её высота равна 4. |
|
Задание проверяет объём прямой призмы: он равен площади основания, умноженной на высоту. Второй катет прямоугольного треугольника найдём по теореме Пифагора: 5² + b² = (√61)², поэтому b² = 36 и b = 6. Площадь основания равна 5 · 6 / 2 = 15, а объём — 15 · 4 = 60.
Ответ: 60.
| В прямоугольном параллелепипеде рёбра , и диагональ боковой грани равны соответственно 4, 7 и . Найдите объём параллелепипеда . |
|
Проверяется вычисление объёма прямоугольного параллелепипеда и применение теоремы Пифагора к диагонали боковой грани.
В боковой грани катеты CD = 4 и высота h, а диагональ CD₁ = 4√2. Поэтому h² + 4² = (4√2)², откуда h = 4.
Объём равен произведению трёх рёбер: V = 4 · 7 · 4 = 112.
Ответ: 112.
В треугольной пирамиде рёбра и взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если и
Проверяется нахождение объёма пирамиды с взаимно перпендикулярными рёбрами, выходящими из одной вершины. Её объём равен одной шестой произведения длин этих рёбер: V = 1/6 · 4 · 9 · 5 = 30.
Ответ: 30.
| Однородный шар диаметром 3 см весит 81 грамм. Сколько граммов весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала? |
|
Задание проверяет зависимость массы однородного шара от его объёма.
При одинаковом материале масса пропорциональна объёму, а объём шара пропорционален кубу диаметра. Поэтому масса второго шара равна 81·(5/3)³ = 81·125/27 = 375 г.
Ответ: 375.
Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 4 и 6,
а второго 6 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?
Задание проверяет площадь боковой поверхности конуса. Формула: S = πrl, где r — радиус основания, l — образующая. Отношение площадей второго и первого конусов равно (6 · 8)/(4 · 6) = 2.
Ответ: 2
В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 4, а боковое ребро перпендикулярно основанию и равно Найдите объём пирамиды
Проверяется объём пирамиды и площадь правильного треугольника. Площадь основания равна (4²√3) / 4 = 4√3, а высота пирамиды равна √3, поскольку SA перпендикулярно основанию. Тогда V = ⅓ · 4√3 · √3 = 4.
Ответ: 4.
| Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка |
|
Проверяется вычисление объёма призмы и сравнение объёмов. Сторона квадратного основания второй коробки втрое больше, поэтому площадь её основания больше в 3² = 9 раз. Её высота в 4,5 раза меньше; значит, объём второй коробки больше в 9/4,5 = 2 раза.
Ответ: 2.
| Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка |
|
Проверяется объём правильной четырёхугольной призмы: V = Sоснh, где площадь квадратного основания равна квадрату его стороны. Если сторона основания первой коробки равна a, у второй она равна 2a, а её высота в 2,5 раза меньше. Поэтому отношение объёмов второй коробки к первой равно 2² : 2,5 = 1,6.
Ответ: 1,6.
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 6 и 5,
а второго 2 и 6. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго?
Задание проверяет объём цилиндра и сравнение объёмов. Формула: V = πr²h. Отношение объёмов равно (6² · 5)/(2² · 6) = 180/24 = 7,5.
Ответ: 7,5
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 6, а боковые рёбра равны 5. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Задание проверяет вычисление площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5 и 6.
Высота такой грани делит основание пополам: её длина равна √(5² − 3²) = 4. Площадь одной грани равна 6 · 4 / 2 = 12; таких граней три, поэтому площадь боковой поверхности 3 · 12 = 36.
Ответ: 36.
Даны два цилиндра. Радиус основания
и высота первого цилиндра равны соответственно 15 и 6, а второго 2 и 5. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго цилиндра?
Задание проверяет площадь боковой поверхности цилиндра: S = 2πrh. Для цилиндров с радиусами 15 и 2 и высотами 6 и 5 отношение площадей равно (15 · 6)/(2 · 5) = 9.
Ответ: 9
| Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка |
|
Задание проверяет сравнение объёмов правильных четырёхугольных призм. Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту.
Пусть сторона основания первой коробки равна a, а высота второй — h. Тогда у второй коробки сторона основания 3a, а высота 2h/3, поскольку первая в полтора раза выше второй.
Отношение объёма второй коробки к объёму первой равно (3a)² · (2h/3) / (a²h) = 6. Значит, объём первой коробки меньше объёма второй в 6 раз. Ответ: 6.
Даны два цилиндра. Радиус основания
и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 3, а второго 12 и 5.
Во сколько раз площадь боковой поверхности второго цилиндра больше площади боковой поверхности первого цилиндра?
Задание проверяет отношение площадей боковых поверхностей цилиндров.
Используем формулу S = 2πrh. Искомое отношение равно (2π·12·5)/(2π·2·3) = 60/6 = 10.
Ответ: 10.
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 14, а боковые рёбра равны 25. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
| Объём конуса равен 192. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. |
|
Сечение параллельно основанию отсекает конус, подобный исходному. Точка делит высоту в отношении 1:3 от вершины, значит, высота малого конуса составляет 1/4 высоты большого.
Объёмы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров: Vмал = 192 · (1/4)³ = 3.
Ответ: 3.
| Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, |
|
Задание проверяет вычисление площади поверхности прямоугольного параллелепипеда. Третье ребро равно 280 / (8 · 5) = 7.
Площадь поверхности равна 2 · (8 · 5 + 8 · 7 + 5 · 7) = 2 · 131 = 262.
Ответ: 262.
| В прямоугольном параллелепипеде рёбра , и диагональ боковой грани равны соответственно 5, 5 и . Найдите объём параллелепипеда . |
|
Проверяется вычисление объёма прямоугольного параллелепипеда. На боковой грани диагональ √29 и ребро 5, значит третье измерение равно √(29 − 5²) = 2 по теореме Пифагора. Объём равен произведению трёх измерений: 5 · 5 · 2 = 50. Ответ: 50.
