Задание 13 ЕГЭ по базовой математике

Сечение, параллельное оси цилиндра, — прямоугольник: одна его сторона равна высоте цилиндра, то есть 9. Расстояние от оси до сечения равно 8, поэтому половина другой стороны равна √(10² − 8²) = 6. Площадь сечения равна 9 · (2 · 6) = 108.

Ответ: 108.

Задание проверяет применение формулы объёма конуса: V = πr²h / 3. Подставим V = 9π и h = 3: 9π = πr² · 3 / 3, откуда r² = 9.

Радиус положителен, поэтому r = 3.

Ответ: 3.

Задание проверяет применение формулы объёма конуса: V = ⅓πr²h.

Подставим объём и высоту: 96π = ⅓πr² · 8, поэтому r² = 36 и r = 6. Радиус положителен.

Ответ: 6.

Площадь боковой поверхности конуса равна πrl, где r — радиус основания, l — образующая. Образующие одинаковы, поэтому отношение площадей равно отношению радиусов: 7 / 2 = 3,5.

Ответ: 3,5.

Задание проверяет объём цилиндра и сравнение объёмов. Формула объёма цилиндра: V = πr²h. Высоты цилиндров одинаковы, поэтому отношение объёмов равно отношению квадратов радиусов: 8² / 2² = 64 / 4 = 16.

Ответ: 16

Проверяется тема «Стереометрия: объёмы и площади». Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πr²h. Отношение объёма второго цилиндра к объёму первого равно (π · 8² · 9)/(π · 2² · 8) = 18.

Ответ: 18.

Задание проверяет нахождение площади боковой поверхности правильной пирамиды. Каждая из трёх боковых граней — равнобедренный треугольник со сторонами 37, 37 и основанием 24.

Высота такой грани равна √(37² − 12²) = 35. Площадь одной грани: 24 · 35 / 2 = 420, поэтому общая площадь равна 3 · 420 = 1260.

Ответ: 1260.

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Площадь правильного треугольника со стороной 4 равна 4² · √3 / 4 = 4√3, а высота равна 3√3.

V = (1/3) · 4√3 · 3√3 = 12.

Ответ: 12.

Проверяется тема «Стереометрия: объёмы и площади». Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту. Площадь прямоугольного треугольника в основании: 13 · 4/2 = 26. Тогда объём равен 26 · 5 = 130.

Ответ: 130.

Проверяется формула объёма конуса: V = ⅓πr²h. У обоих конусов радиус основания равен 6, поэтому отношение объёмов равно отношению высот: 7 / 2 = 3,5.

Ответ: 3,5.

Объём шара вычисляется по формуле V = ⁴⁄₃πr³. Радиус большего шара в 12 : 4 = 3 раза больше, поэтому его объём больше в 3³ = 27 раз.

Ответ: 27.

Объём пирамиды с тремя взаимно перпендикулярными рёбрами при вершине равен одной шестой произведения их длин.

V = (3 · 12 · 7) / 6 = 42.

Ответ: 42.

Задание проверяет объём пирамиды с тремя взаимно перпендикулярными рёбрами, выходящими из одной вершины. Основанием можно взять прямоугольный треугольник с катетами 3 и 14, а высота пирамиды равна 8. Поэтому V = (1/3) · (1/2 · 3 · 14) · 8 = 56.

Ответ: 56

Задание проверяет площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси. Сечение — прямоугольник: его высота равна образующей, то есть 9, а ширина — хорде основания.

Расстояние от центра основания до хорды равно 24, поэтому половина хорды равна √(26² − 24²) = 10. Площадь сечения: 9 · (2 · 10) = 180.

Ответ: 180.

Задание проверяет объёмы цилиндров и сравнение величин. Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πr²h.

Отношение объёма второго цилиндра к объёму первого равно (π · 6² · 7) / (π · 2² · 6) = 10,5.

Ответ: 10,5.

Проверяется умение применять подобие конусов и отношение их объёмов.

Точка делит высоту в отношении 1:2 от вершины, значит высота отсечённого конуса составляет 1/3 высоты исходного. У подобных конусов объёмы относятся как кубы соответствующих линейных размеров: 81 · (1/3)³ = 3.

Ответ: 3.

Проверяется площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 10, 10 и 16; его высота к стороне 16 равна √(10² − 8²) = 6. Площадь одной грани равна 16 · 6 / 2 = 48, а трёх граней — 3 · 48 = 144. Ответ: 144.

Задание проверяет формулу объёма шара: V = ⁴⁄₃πr³.

При сравнении объёмов коэффициенты и π сокращаются. Отношение объёмов равно 2³ / 1³ = 8.

Ответ: 8.